Упрощение, преобразование и вычисление выражений

Сложные алгебраические и тригонометрические выражения нередко могут быть приведены к эквивалентным путем упрощения. Symbolic Math Toolbox имеет ряд сервисных функций, предназначенных для различных преобразований символьных выражений. Пользователь может производить как стандартные операции над полиномами, так и использовать более общий алгоритм, предназначенный для упрощения выражений, которые содержат встроенные символьные функции.

Операции с полиномами реализуют четыре функции: collect, expand, homer и factor. Вычисление коэффициентов при степенях независимой переменной производится с использованием функции collect. Введем полином и отобразим eго в командном окне при помощи pretty.

>> p=sym ('(x+a)^4+(x-1)^3-(x-a)^2-a*x+x-3');

>> pretty (p).

3 4 2.

x + (x-1) — ax + (a+x) — (a-x) — 3.

Преобразуем р к виду, содержащему степени х с соответствующими коэффициентами:

>> pc=collect (p);

>> pretty (pc).

3 2 2 3 2 4.

x (4a+1) + x (6a -4) + x (4a +a +4) — a + a + x — 4.

По умолчанию в качестве переменной выбирается х, однако можно было считать, что, а — независимая переменная, а х входит в коэффициенты полинома, зависящего от а. Второй аргумент функции collect предназначен для указания переменной, при степенях которой следует найти коэффициенты.

>> pca=collect (p,'a');

>> pretty (pca).

3 3 2 2 4 3.

x + (x-1) + 4ax + a (6x-1) + a + a (4x + x) — x + x — 3.

Функция expand представляет полином суммой степеней без приведения подобных слагаемых:

>> pe=expand (p);

>> pretty (pe).

4 3 2 2 2 3 4 3 2.

a + 4 a x + 6 a x — a + 4 a x + a x + x + x — 4 x + 4x — 4.

Аргументом expand может быть не только полином, но и символьное выражение, содержащее тригонометрические, экспоненциальную и логарифмическую функции, например

>> f=sym ('sin (arccos (3*x))+exp (2*log (x))');

>> fe=expand (f);

>> pretty (fe).

2 2 ½.

x + (1 — 9 x).

Символьные полиномы разлагаются на множители функцией factor, если получающиеся множители имеют рациональные коэффициенты.

>> p=sym ('x⁵+13*x⁴+215/4*x³+275/4*x²−27/2*x-18');

>> pf=factor (p);

>> pretty (pf).

• (2x+1)(2x-1)(x+6)(x+4)(x+3)
• ——————————————-

Представление числа в виде произведения простых чисел также выполняется при помощи factor:

>> syms a.

>> a=sym ('230 010');

>> s=factor (a).

• s =
• 2*3*5*11*17*41

Обратим внимание, что обращение.

>> s1=factor (230 010).

s1 =.

(2) (3) (5) (11) (17) (41).

выводит в командное окно аналогичный результат, но переменная s является символьной, a si — вещественной, поскольку для объектов класса sym метод factor переопределен.

Упрощение выражений общего вида производится при помощи функций simple и simplify, которые основаны на разных подходах. Функция simplify реализует мощный алгоритм упрощения выражений, содержащих как тригонометрические, экспоненциальную и логарифмическую функции, так и специальные: гипергеометрическую, Бесселя и гамма-функцию. Кроме того, simplify способна преобразовывать выражения, содержащие символьное возведение в степень, суммирование и интегрирование. Алгоритм, заложенный в simple, пытается получить выражение, которое представляется меньшим числом символов, чем исходное, последовательно применяя все функции упрощения Toolbox.

Функция subs позволяет произвести подстановку одного выражения в другое. В общем виде subs вызывается с тремя входными аргументами: именем символьной функции, переменной, подлежащей замене, и выражением, которое следует подставить вместо переменной. Функция subs, в частности, облегчает ввод громоздких символьных выражений, имеющих определенную структуру:

>> f=sym ('(a²+b²)/(a²-b²)+a⁴/b⁴');

>> f=subs (f,'a','(exp (x)+exp (-x))');

>> f=subs (f,'b','(sin (x)+cos (x))');

>> pretty (f).

4 2 2.

• (exp (-x)+exp (x)) (cos (x)+sin (x))+(exp (-x) + exp (x))
• —————————- - ————————————————————

4 2 2.

(cos (x) + sin (x)) (cos (x)+sin (x))-(exp (-x) + exp (x)).

Заметим, что необязательно было производить подстановку сначала для, а и затем для b. Одновременная замена переменных соответствующими выражениями требует указания массивов ячеек в фигурных скобках.

Последовательность команд.

>>f=subs (f,{'a','b'},{'(exp (x)+exp (x))','(sin (x)+cos (x))'});

>> pretty (f).

обеспечивает тот же самый результат.

Подстановка вместо переменной ее числового значения приводит к вычислению символьной функции от значения аргумента, например:

>> f=sym ('exp (x³+2*x²+x+5)');

>> q=subs (f,'x', 1.1).

q =.

1.897 732 263 918 382 e+004.

Число можно заменить его символьным представлением и затем найти значение функции с произвольной точностью при помощи vpa:

>> q=subs (f,'x','1.1').

q =.

18 977.32263918380228952284447214.

>> vpa (q, 50).

ans =.

18 977.322639183802289522844472139578548917101383678.