Денежные потоки в виде серии равных платежей (аннуитеты)

Поток платежей, все элементы которого распределены во времени так, что интервалы между последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity).

Теоретически, в зависимости от условий формирования, могут быть получены весьма разнообразные виды аннуитетов: с платежами равной либо произвольной величины; с осуществлением выплат в начале, середине или конце периода и др.

В финансовой практике часто встречаются так называемые простые, или обыкновенные, аннуитеты (ordinary annuity, regular annuity), которые предполагают получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и т. д.).

Обыкновенные аннуитеты используются при выплате по облигациям с фиксированной ставкой купона, банковским кредитам, долгосрочной аренде, страховым полисам, также они используются при формировании различных фондов.

Согласно определению, простой аннуитет обладает двумя важными свойствами.

1. Все его п элементов равны между собой:

где CF — размер каждого платежа.

2. Отрезки времени между выплатой/получением сумм CF одинаковы, т. е.

Будущая стоимость обыкновенного аннуитета

Будущая стоимость простого аннуитета представляет собой сумму всех составляющих его платежей с начисленными процентами, получаемую на конец срока проведения операции. Для п периодов получаем.

Используя формулу для суммы членов геометрической прогрессии.

где b1 — первый член геометрической прогрессии; q — знаменатель прогрессии; п — количество членов геометрической прогрессии, и выполнив ряд математических преобразований, можно получить более компактную запись формул:

Пример 12. Финансовая компания создает фонд для погашения своих облигаций путем ежегодных помещений в банк сумм в 10 000 руб. под 10% годовых. Какова будет величина фонда к концу 4-го года?

Решение

В случае осуществления платежей несколько раз в год формула для расчета будущей стоимости будет.

Пример 13. Каждый год ежемесячно в банк помещается сумма в 1000 руб. Ставка равна 12% годовых, начисляемых в конце каждого месяца. Какова будет величина вклада к концу 4-го года?

Решение

Общее количество платежей за 4 года равно 4 • 12 = 48. Ежемесячная процентная ставка составит 12/12 = 1%. Тогда.

Текущая (современная) стоимость обыкновенного аннуитета

Под текущей величиной (стоимостью) денежного потока понимают сумму всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции (PV).

Другими словами, под текущей стоимостью денежного потока можно понимать размер кредита, по которому в дальнейшем предполагается получение периодических платежей размером CF.

Пример 14. Предположим, что мы хотим получать доход, равный 1000 в год, на протяжении 4 лет. Какая сумма обеспечит получение такого дохода, если ставка по срочным депозитам равна 10% годовых?

Решение

Общая формула для определения текущей стоимости денежного потока (аннуитета) будет.

где PV — текущая стоимость денежного потока (размер кредита); CF — размер ежемесячного платежа.

Период финансовой операции (аннуитета) определяется по формуле.

В случае если платежи осуществляются несколько раз в год, используется формула.

где т — количество интервалов начисления в год.

Размер периодических платежей определяется формулой.

Пример 15. Требуется определить размер ежемесячного платежа, но кредиту размером 1 000 000 руб., выдаваемому на 3 года под 12% годовых при ежемесячном начислении.

Решение

Используем формулу.

: