Анализ предметной области

1.1 Интерполяция функция с помощью полиномов Лагранжа

Интерполяция, интерполирование — в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, часто приходится оперировать наборами значений, полученных опытным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Рассмотрим систему несовпадающих точек () из некоторой области. Пусть значения функции известны только в этих точках:

Задача интерполяции состоит в поиске такой функции из заданного класса функций, что.

• · Точки называют узлами интерполяции, а их совокупность — интерполяционной сеткой.
• · Пары называют точками данных или базовыми точками.
• · Разность между «соседними» значениями — шагом интерполяционной сетки. Он может быть как переменным, так и постоянным.
• · Функцию — интерполирующей функцией или интерполянтом.

Интерполяционный многочлен Лагранжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n+1 пар чисел (x0, y0), (x1, y1),…, (xn, yn), где все xj различны, существует единственный многочлен L (x) степени не более n, для которого L (xj) = yj.

В простейшем случае (n=1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

l_i (x) обладают следующими свойствами:

• · являются многочленами степени n
• · l_i (x_i) = 1
• · l_i (x_j) = 0 при j ? i

Отсюда следует, что L (x), как линейная комбинация l_i (x), может иметь степень не больше n, и L (x_i) = y_i.

Пример

Найдем формулу интерполяции для f (x) = tan (x) имеющей следующие значения:

Получим.