Задачи. 
Разработка программного комплекса решения математической задачи численными методами

Процесс разработки интерактивной прикладной программы, осуществляет оптимизацию унимодальной функции одной переменой на заданном интервале методом деления отрезка пополам, или методом дихотомии.

Определение: функция f (x), заданная на интервале a<=x<=b называется унимодальной на [a, b], если существует единственная точка x* минимума f (x), т. е. f (x*)=min f (x) {на a<=x<=b}, и если для любых двух точек x1, x2 принадлежащих [a, b] выполняется соотношение:

• -из неравенств x1
• -из неравенств x2>x1=>x* следует f (x1)

Необходимые условия того, что x* является точкой локального минимума (максимума) дважды дифференцируемой функции f на открытом интервале (a, b) выражаются следующими соотношениями:

1) df 2) d²f.

=0 =>0 (<=0).

dx x=x* dx² x=x*.

Достаточные условия экстремума

Пусть в точке x* первые (n-1) производные функции обращаются в нуль, а производная порядка n отлична от нуля.

• 1) Если n-нечетное, то x*-точка перегиба.
• 2) Если n-четное, то x*-точка локального оптимума.

Кроме того,.

• а) если эта производная положительная, то x*-точка локального минимума;
• б) если эта производная отрицательная, то x*-точка локального максимума

Правила исключения интервалов

Пусть функция f унимодальна на интервале axb, а ее минимум достигается в точке x*.

Рассмотрим точки x₁ и x₂, расположенные в интервале таким образом, что a12₁ и x₂, можно сделать следующие выводы:

1. Если f (x1)>f (x2), то точка минимума f (x) не лежит в интервале (a, x1), т. е. x*(x1,b) (см. рис.3).

f (x).

f (x₁).

f (x₂).

a x₁ x* x₂ b x.

Рис. 3 Первый вариант расположения точки минимума

2. Если f (x1).

f (x).

f (x₁).

f (x₂).

a x₁ x* x₂ b x.

Рис. 4 Второй вариант расположения точки минимума

3. Если f (x1)=f (x2), то можно исключить оба крайних интервала (a, x1) и (x2,b), при этом x*(x1,x2).

Согласно правилам исключения интервалов можно реализовать процедуру поиска, позволяющую найти точку оптимума путем последовательного исключения частей исходного ограниченного интервала. Поиск завершается, когда оставшийся интервал уменьшается до достаточно малых размеров.

данные

6 вещественных чисел — коэффициентов при соответствующих степенях оптимизируемой функции, границы интервала поиска минимума функции, точность вычисления, которые также относятся к классу вещественных чисел.

Выходные данные

Точка для минимума заданной пользователем функции и значение функции в этой точке.