Арифметические операции с числами в позиционных системах счисления

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими много членами. При этом нужно только пользоваться теми таблицами сложения и умножения, которые соответствуют данному основанию P системы счисления.

Вычисления выполняются по следующим правилам:

• — операция сложения выполняется поразрядно, начиная с младших разрядов в слагаемых;
• — в каждом одноименном разряде слагаемых суммируются соответствующие цифры и перенос из предыдущего разряда суммы;
• — если сумма цифр одноименных разрядов слагаемых и переноса меньше основания системы счисления, то перенос в следующий разряд равен нулю, если равна или больше — то равен единице.

Арифметические операции над числами в двоичной системе счисления:

Рассмотрим правила выполнения арифметических операций над однозначными числами.

Примеры:

• 1. Сложить два числа: 1010(2) + 10101(2) = 11111(2)
• 2. Найти разность двух чисел 10101(2) и 1010(2):
• 10101(2) — 1010(2) = 1011(2)
• 3. Умножить два числа 1011(2) и 101(2):
• 1011(2) * 101(2) = 11 0111(2)

Для выполнения арифметических операций в системе счисления с основанием P необходимо иметь соответствующие таблицы сложения и умножения.

Для P = 2, 8 и 16 таблицы представлены ниже.

• 3. Сложить числа:
  • а) 1 000 000 0100(2) + 11 100 0010(2) = 1 011 100 0110(2).
  • б) 223,2(8) + 427,54(8) = 652,74(8).
  • в) 3B3,6(16) + 38B, 4(16) = 73E, A (16).
  • а) 1 000 000 0100(2)=1 ??210+1??22 = 1024+4=1028(10)
• 11 100 0010(2)=1?28+ 1?27+ 1?26+ 1?21 = 256+128+64+2 = 450(10)
• 1 011 100 0110(2)=1?210+ 1?28+ 1?27+ 1?26+ 1?22+ 1?21 = 1024+256+128+64+4+2 = 1478(10)
• 1028(10)+450(10) = 1478(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в двоичной системе счисления выполнены верно.

• б) 223,2(8)=2?82+ 2?81+ 3?80+ 2?8−1 = 128+16+3+0,25 = 147,25(10)
• 427,54(8)= 4?82+ 2?81+ 7?80+ 5?8−1+ 4?8−2 = 256+16+7+0,625+0,0625 = 279,6875(10)
• 652,74(8)= 6?82+ 5?81+ 2?80+ 7?8−1+ 4?8−2 = 384+40+2+0,875+0,0625 = 426,9375(10)
• 147,25(10)+279,6875(10) = 426,9375(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в восьмеричной системе счисления выполнены верно.

• в) 3B3,6(16)= 3?162+ 11?161+ 3?160+ 6?16−1 = 768+176+3+0,375 = 947,375(10)
• 38B, 4(16)= 3?162+ 8?161+ 11?160+ 4?16−1 = 768+128+11+0,25 = 907,25(10)
• 73E, A (16)= 7?82+ 3?81+ 14?80+ 10?8−1 = 1792+48+14+0,625 = 1854,625(10)
• 947,375(10)+907,25(10) = 1854,625(10)

Результаты совпадают, следовательно, вычисления в шестнадцатеричной системе счисления выполнены верно.

• 4. Выполнить вычитание:
  • а) 1 100 000 011,011(2) — 101 010 111,1(2) = 110 101 011,111(2).
  • б) 1510,2(8) — 1230,54(8) = 257,44(8).
  • в) 27D, D8(16) — 191,2(16) = EC, B8(16).
• 5. Выполнить умножение:
  • а) 10 0111(2) x? 100 0111(2) = 10 101 101 0001(2).
  • б) 1170,64(8) x? 46,3(8) = 57 334,134(8).
  • в) 61, A (16) x? 40, D (16) = 18B7,52(16).
• 6. Выполнить деление:
  • а) 10 011 001 001 1000(2): 10 1011(2)=11 100 1000(2);
  • б) 46230(8): 53(8)=710(8);
  • в) 4C98(16): 2B (16)=1C8(16).