Основные положения метода симметричных составляющих

Трехфазные системы передачи электрической энергии состоят из источников энергии, линий передачи, трансформаторов и электродвигателей. В результате какой-либо аварии (например, короткого замыкания или обрыва провода) или при несимметричной нагрузке на элементах системы (электродвигателях, трансформаторах, самой линии передачи) возникают несимметричные напряжения.

Расчет токов и напряжений в таких системах производят с помощью схем замещения, на которых все элементы системы должны быть представлены комплексными сопротивлениями. Но сопротивление на фазу одного и того же элемента не одинаково для разных последовательностей. Поэтому расчет следует вести для каждой из последовательностей отдельно, а затем искомую величину (ток или напряжение) определить как сумму токов или соответственно напряжений нулевой, прямой и обратной последовательностей.

Рассмотрим причины, обусловливающие различные значения сопротивления одного и того же элемента для разных последовательностей фаз (при относительно низких частотах).

Сопротивление на фазу трехфазной линии передачи для прямой, обратной и нулевой последовательностей фаз обозначим соответственно Z_ln, Z_2jI, Z_0jI. Сопротивление на фазу линии передачи для прямой последовательности Z_Xjl равно сопротивлению на фазу линии для обратной последовательности Z^, но не равно сопротивлению на фазу линии для нулевой последовательности фаз вследствие различных значений индуктивности на фазу трехфазной линии для систем прямой и нулевой последовательностей фаз.

Различные значения индуктивностей на фазу линии для прямой и нулевой последовательностей фаз объясняются двумя причинами. Во-первых, индуктивность на фазу линии для прямой и обратной последовательностей определяется только геометрическими размерами петель, образованных линейными проводами, тогда как индуктивность на фазу линии для нулевой последовательности зависит не только от геометрических размеров петель, образованных линейными проводами, но и от геометрических размеров петель, образованных линейными проводами и нулевым проводом. Во-вторых, ЭДС, наводимые в петлях провода линии для прямой и обратной последовательностей, представляют собой геометрическую сумму ЭДС, наводимых сдвинутыми по фазе на 120° токами в линейных проводах, тогда как ЭДС, наводимые в петлях проводов линии для нулевой последовательности, созданы совпадающими по фазе токами нулевой последовательности.

В трехфазном трехстержневом трансформаторе (магнитная система его изображена на рис. 6.27) сопротивление на фазу для нулевой последовательности Z_0t не равно сопротивлению на фазу для прямой последовательности Z_lT, но Z_lT = Z_2t, где Z_2t — сопротивление на фазу для обратной последовательности.

Рис. 6.27.

Объясняется это главным образом тем, что магнитные потоки нулевой последовательности Ф₀ всех трех фаз находятся в фазе и поэтому не могут замыкаться по соседним стержням магнитной системы и замыкаются по воздуху (см. рис. 6.27). Магнитные потоки трех фаз прямой Ф₂ и, соответственно, обратной последовательностей по фазе сдвинуты на 120° и поэтому могут замыкаться по соседним стержням магнитной системы. Так как магнитное сопротивление по пути в воздухе много больше магнитного сопротивления по пути в стали, то при одинаковых токах нулевой и прямой последовательностей Ф₀ < Ф_г. Поэтому Z_0t < Z_lT. Еще большее различие имеют сопротивления прямой Z_lfl, обратной Z_2a и нулевой Z_0a последовательностей асинхронного двигателя.

Если к выходным зажимам трехфазного асинхронного двигателя (см. рис. 6.25) одновременно подвести напряжения прямой, нулевой и обратной последовательностей фаз, то входное сопротивление на фазу двигателя для прямой последовательности z* не будет равно входному сопротивлению на фазу для обратной последовательности Z_2a и оба они будут отличны от входного сопротивления для нулевой последовательности Zq_k Разберем, чем это объясняется.

Под действием напряжения прямой последовательности в двигателе создается круговое вращающееся магнитное поле. Оно увлекает за собой ротор двигателя. Ротор вращается с угловой частотой со_р. Система напряжений обратной последовательности также создает круговое вращающееся поле, но направление вращения его обратно направлению вращения поля прямой последовательности.

Система напряжений нулевой последовательности вращающегося магнитного поля не создает. Вокруг статорных обмоток ею создаются пульсирующие потоки, замыкающиеся по воздушному зазору между статором и ротором, подобно тому как в трехстержневом трехфазном трансформаторе (см. рис. 6.27) потоки от нулевой последовательности, выходя из сердечника, замыкались по воздуху.

Входное сопротивление на фазу двигателя для данной последовательности зависит не только от активного и реактивного сопротивлений фазы статорной обмотки, но и от активного и реактивного сопротивлений роторной обмотки (подобно тому как в трансформаторе входное сопротивление определяется не только собственным сопротивлением первичной обмотки, но и сопротивлением, вносимым вторичной обмоткой (см. параграф 3.39)). Индуктивное сопротивление фазы ротора прямо пропорционально частоте. ЭДС прямой последовательности создают в роторе токи частоты (оо — со_р), что составляет примерно от 0,02ol) до 0,05о), тогда как токи ротора от обратно вращающегося поля имеют частоту w + со_р = (1,98 -sl, 95) w. Так как частоты токов в роторе, создаваемые прямой и обратной последовательностями, различны, то различны и входные сопротивления на фазу для прямой (Z_lfl) и обратной (Z_2д) последовательностей.

Магнитные потоки нулевой последовательности фаз замыкаются, минуя ротор, а потоки прямой и обратной последовательностей фаз проходят через ротор. При одном и том же токе прямой и нулевой последовательностей соответствующие им потоки различны. Поэтому для асинхронного двигателя Z_0fl Ф Z_lA Ф Z_2p.

Расчет по методу симметричных составляющих состоит в следующем. На основании принципа наложения, применимого к линейным цепям, заданный несимметричный режим работы схемы представляют как результат наложения трех симметричных режимов.

В первом симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат только составляющие прямой последовательности фаз, а линии передачи, вращающиеся машины и трехфазные трансформаторы представлены на схемах их сопротивлениями для прямой последовательности.

Во втором симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат составляющие только обратной последовательности, а машины и трансформаторы представлены их сопротивлениями обратной последовательности.

В третьем симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат только составляющие нулевой последовательности, а машины и трансформаторы представлены соответствующими сопротивлениями нулевой последовательности.

Для того чтобы от симметричной исходной схемы прийти к трем симметричным схемам, поступают следующим образом: в том месте схемы, где создается несимметрия, в схему вводят сумму трех несимметричных напряжений — U_A, й_в, й_с. Система этих напряжений (ЭДС) на основании теоремы компенсации заменяет три неодинаковых сопротивления, образовавшихся в месте аварии и приведших к несимметрии во всей схеме. Далее три несимметричных напряжения в соответствии с параграфом 6.20 раскладывают на три симметричных, основные векторы которых й₀, й_ъ й₂ надлежит определить. Точно так же три несимметричных тока i_A, i_B, i_c раскладывают на три симметричные системы токов, основные векторы которых /₀, /_1з /₂ следует найти.

В методе симметричных составляющих неизвестными являются шесть величин: три напряжения (U₀, 0_Ъ U₂) и три тока (7₀,1_Ь i₂), через которые могут быть выражены любые напряжения и токи в цепи.

Для определения шести неизвестных составляют шесть уравнений: по одному уравнению составляют для каждой из трех симметричных систем; остальные три уравнения записывают для того участка схемы, где создается несимметрия. Вид трех последних уравнений зависит от характера несимметрии в схеме.

Рассмотрим два примера. Первый пример иллюстрирует расчет при коротком замыкании линейного провода на землю, второй — расчет при разрыве линейного провода. Оба примера приведены для одной и той же схемы до аварии. В первом случае схема изображена на рис. 6.28, а.

Рис. 6.28.

Сопротивления на фазу трехфазного генератора Z_r для прямой, обратной и нулевой последовательностей обозначены Z_rl, Z_r2, Z_r0 сопротивления асинхронного двигателя на фазу — Z_Rl, Z_fl2, ?_д0, сопротивления линии передачи на фазу — Z_nl, Z_n2, Z_n0. Нулевые точки генератора, двигателя, нагрузки заземлены. Сопротивление заземления генератора — ^гЗ> общее сопротивление заземления двигателя и нагрузки обозначено 2_дз;

Будем считать, что короткое замыкание линейного провода на землю произошло посередине линии, а фазу, к которой это произошло, назовем фазой А.

Место аварии на рис. 6.28. а окружено штриховой линией в форме прямоугольника. Несимметричные напряжения, образовавшиеся в месте аварии, обозначены й_А, й_в, й_с, а токи на землю в месте аварии i_A, i_B, i_c. Из рисунка видно, что й_А =0 и i_B =i_c =0. В соответствии с параграфом 6.18 эти три напряжения и три тока представим через их симметричные составляющие:

Здесь а = е)^1Ж, а₂ = е>²⁴⁰° = еЭ¹²⁰°.

Анализ процессов в несимметричной схеме на рис. 6.28, а методом симметричных составляющих сводится к анализу процессов в трех схемах, изображенных на рис. 6.28, б — г. Схема на рис. 6.28, б составлена для токов и напряжений прямой последовательности в фазе А, схема рис. 6.28, в — для обратной последовательности, схема рис. 6.28, г — для нулевой. Так как генератор дает симметричную систему ЭДС прямой последовательности Ёд> Ёв, Ё_с (а ЭДС обратной и нулевой последовательностей не содержит), то ЭДС Ё_А имеется только в схеме на рис. 6.28, б, а в схемах на рис. 6.28, виг ЭДС генератора отсутствует.

Напряжения между точками а и b в этих схемах й_ъ й₂, й₀ обозначают напряжения на источниках ЭДС соответственно прямой, обратной и нулевой последовательностей, через которые текут токи /_ь i₂, /₀ этих последовательностей в месте аварии. Все сопротивления в схеме на рис. 6.28, б имеют дополнительный индекс 1, в схеме рис. 6.28, в — индекс 2, в схеме рис. 6.28, г — индекс 0 или 3.

Утроение сопротивления заземления генератора и двигателя в схеме на рис. 6.28, г для нулевой последовательности объясняется тем, что по нулевому проводу течет ток, в три раза больший, чем по фазовому проводу.

Схемы на рис. 6.28, б — г заменяем их эквивалентами на рис. 6.28, д—ж, не затрагивая при этом источники ЭДС, напряжение на которых равно 0_Ъ U₂, й₀.

Параметры схемы на рис. 6.28, д:

Параметры схемы на рис. 6.28, е:

Параметры схемы на рис. 6.28, ж:

Затем для схем на рис. 6.28, д, е, ж составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:

и дополняем их тремя уравнениями, выражающими через их симметричные составляющие й_А, 1_В, 1_С:

Решив систему уравнений (6.25)—(6.30), определим 7₀, /_1з i₂, й₀, й_ъ й₂, а по ним все токи и напряжения в исходной схеме на рис. 6.28. а.

Рассмотрим теперь последовательность расчета при другом виде аварии — обрыве линейного провода фазы Л (рис. 6.29, а). Трехфазный генератор по-прежнему дает симметричную трехфазную систему ЭДС. В месте аварии вводим систему трех несимметричных напряжений U_A, U_B, U_c и систему трех несимметричных токов i_A, i_B, i_c. Переходим от них к симметричным системам напряжений и токов:

После этого от трехфазной несимметричной системы (см. рис. 6.29, а) переходим к трем схемам на рис. 6.29, б — г. Схема на рис. 6.29, б составлена для прямой последовательности в фазе Л, схема на рис. 6.29, в — для обратной и схема на рис. 6.29, г — для нулевой.

Схемы на рис. 6.29, б — г заменяем схемами на рис. 6.29, б — ж соответственно.

Рис. 6.29.

Для схемы д:

Для схемы е:

Для схемы ж:

Для схем на рис. 6.29, д — ж составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:

Дополняем их тремя уравнениями, выражающими i_A, й_в, й_с в месте аварии через их симметричные составляющие:

Решаем систему уравнений (6.31)—(6.36) относительно /₀, Д, /₂, й₀, й_ъ U₂ и по ним определяем все токи и напряжения в схеме на рис. 6.29, а.

В заключение обратим внимание на то, что сопротивления на фазу для различных последовательностей для генератора, двигателя и трансформатора зависят от степени насыщения их магнитных систем во время аварии. Заводские данные о них должны быть известны перед проведением расчета.

Вопросы для самопроверки

• 1. Дайте определение трехфазной симметричной системы ЭДС. Какими достоинствами объясняется широкое распространение систем в энергетике?
• 2. Что понимают под линейным и нулевым проводами, линейными и фазовыми напряжениями и токами?
• 3. Как вы объясните, что напряжения, которые получают от трехфазных цепей, могут быть представлены следующим рядом: 127, 220, 380, 660 В?
• 4. Каковы функции нулевого провода в системе «звезда — звезда при несимметричной нагрузке»?
• 5. При каких способах соединения генератора с нагрузкой линейный ток равняется фазовому?
• 6. При каких способах соединения генератора с нагрузкой линейное напряжение равняется фазовому?
• 7. На распределительном щитке выведены три конца симметричной трехфазной системы ЭДС. Как определить зажимы фаз А, В, С?
• 8. Что понимают под активной и полной мощностями трехфазной системы?
• 9. Почему при симметричной нагрузке расчет можно вести на одну фазу?
• 10. Почему активную мощность трехфазной системы при наличии нулевого провода нельзя измерять с помощью схемы на рис. 6.19?
• 11. Охарактеризуйте условия получения трехфазного кругового вращающегося магнитного поля.
• 12. Начертите кривую, по которой будет перемещаться конец вектора результирующей магнитной индукции вращающегося магнитного поля, которое образуется при обрыве фазы А трехфазной симметричной системы на рис. 6.23, а.
• 13. Что свойственно прямой, нулевой и обратной последовательностям фаз?
• 14. Как разложить несимметричную трехфазную систему на три симметричные?
• 15. Объясните, почему сопротивление на фазу элементов трехфазных систем (линии передачи, трехстержневого трансформатора, асинхронного двигателя) неодинаково для различных последовательностей.
• 16. Решите задачи 6.4; 6.13; 6.15; 6.21; 6.28.