Вывод расчетных формул для напряжений и угла закручивания стержня

Геометрический анализ. Вырежем из стержня, испытывающего деформацию кручения (рис. 6.8), элемент длиной dx. В этом элементе на некотором расстоянии р от центра кручения выделим волокно ob и рассмотрим его перемещение. В процессе деформации крайние поперечные сечения элемента dx поворачиваются относительно друг друга. Мысленно остановим левое сечение. Тогда правое сечение повернется относительно него на угол dq>. При этом волокно ab поворачивается на угол сдвига у и приходит в положение ab |.

Рис. 6.8. Элемент стержня, работающего на кручение.

Найдем связь между углом поворота сечения dep и углом сдвига волокна у. Перемещение правого конца волокна (точки Ь) bb_x = pdcp = dxy, откуда.

Физический, а н, а л и з. Так как кручение — это частный случай чистого сдвига, при упругой деформации для связи деформаций и напряжений используем закон Гука при сдвиге с учетом выражения (6.5):

Формула для касательных напряжений получена, но пользоваться ею нельзя, так как неизвестна величина dcp/dx. Однако логика подсказывает, что чем больше крутящий момент Л/_к, тем больше угол закручивания стержня (р.

Статический анализ. Воспользуемся условием эквивалентности напряжений и внутренних усилий для связи касательных напряжений с крутящим моментом. Крутящий момент есть результат действия касательных напряжений в поперечном сечении стержня:

В выражении (6.7) за знак интеграла вынесены величины постоянные, не зависящие от выбора площадки с14. Выражение под интегралом представляет собой полярный момент инерции поперечного сечения J_п = f р² 6Л. Тогда М= (7-^7. откуда.

^р J К р

А.

Подставив выражение (6.8) в выражение (6.6), находим.

Сократив это выражение на модуль сдвига (7, окончательно получаем.

Формулу дзя угла закручивания стержня получаем путем интегрирования выражения (6.8):

где / — длина стержня.

Если на стержень действуют несколько внешних нагрузок, то.

где сумма берется по числу участков на стержне. Границами участков являются сечения, где-либо приложены нагрузки, либо изменяются форма и размеры поперечного сечения.

Если крутящий момент по длине участка не меняется, то интеграл принимает вид суммы:

где / — длина соответствующего участка, сумма берется по количеству участков.

Условие прочности при кручении.

Построим эпюру распределения касательных напряжений по сечению круглого стержня при кручении. В соответствии с формулой (6.9) касательные напряжения распределены по сечению по линейному закону и пропорциональны радиусу р (рис. 6.9): при р = 0 (в центре круга) т = 0, при р = pmax = d/2.

М_к

(на поверхности круга) т = т_тах =—^р_тах .

^J р

Рис. 6.9. Касательные напряжения в круглом сечении при кручении.

Введем новую геометрическую характеристику сечения: Wp⁼J_p/p_max, где W_p — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления. Тогда на поверхности стержня.

Для круглого поперечного сечения Для кольца

Условие прочности при кручении т_тах < | т] или с учетом (6.12).

Потенциальная энергия при кручении стержня

Потенциальная энергия упругой деформации, численно равная работе внешних сил, может быть определена как площадь диаграммы деформирования. При упругой деформации — это площадь треугольника (рис. 6.10). Если стержень нагружен одной парой сил, то с учетом выражения (6.11)

Рис. 6.10. Диаграмма деформирования при кручении.

В общем случае действия произвольной нагрузки, если М_к *= const.

Рассмотрим второй (более общий) способ определения потенциальной энергии упругой деформации П. Найдем ее как интеграл по объему Vот удельной потенциальной энергии Я₀: II = [ Я₀ dV .

Здесь сумма берется по количеству участков.