Диэлектрический шар в равномерном поле

Если в равномерное поле помещен незаряженный диэлектрический шар, то как внутри шара, так и вне его нет свободных зарядов, и потому поле описывается уравнением Лапласа. Полное решение (19.62) пригодно и для данной задачи. Величины для описания поля внутри шара запишем с индексом /, а величины, с помощью которых описывается потенциал во внешней по отношению к шару области, — с индексом е. Таким образом, для внутренней области.

для внешней области.

Надо найти восемь постоянных интегрирования. В этом случае потенциал на бесконечности <�р = <�р₀ + ?₀ R cos0.

Сопоставим последнее выражение с (19.66): С_2е = <�р₀ И С_ге = Е₀.

В § 19.14 было рассмотрено поле точечного заряда. Там было показано, что потенциал в поле точечного заряда изменяется обратно пропорционально R. Поэтому С,_в/ R есть составляющая потенциала от суммарного заряда шара, рассматриваемого как точечный заряд. Так как суммарный заряд шара равен нулю, то в выражении для <�р, эта составляющая должна отсутствовать, т. е. С,_й =0.

В выражении (19.66) осталась неизвестной лишь постоянная С_Ае.

Рассмотрим выражение потенциала ф, для внутренней области. Оно должно давать конечное значение для всех точек внутри шара. Это возможно только тогда, когда С, =0 и С_4/ =0 (если бы С_ь *0, то слагаемое С|,//? в центре шара при R = 0 давало бы бесконечно большое значение). Постоянная, с точностью до которой определяется потенциал в рассматриваемом поле, равна аналогичной постоянной С_2с=ф₀ для внешней области. Таким образом, для внутренней области.

Оставшиеся неизвестными постоянные С_Ае и С_3/ найдем из граничных условий.

Из равенства потенциалов ф, и.

c при R = а (это условие, как нетрудно убедиться, эквивалентно условию Е_и = Е₂,) следует, что С"" = = Е₀ а + С_Ае/а².

Из равенства нормальных составляющих вектора D на границе следует, что.

т. е.

Совместное решение двух последних уравнений дает:

Потенциалы областей: внутренней.

внешней.

Напряженность поля внутри шара.

Напряженность? направлена вдоль осиг и не зависит от координат точки. Это означает, что поле внутри шара однородное.

На рис. 19.23 изображены линии вектора D и эквипотенциальные линии (картина поля) для трех случаев:

Рис. 19 23.

• а) когда в равномерное (до внесения шара) поле помещен незаряженный проводящий шар (рис. 19.23, а);
• б) когда в равномерное (до внесения шара) поле помещен диэлектрический шар, е_а, которого больше е_ас окружающей среды (рис. 19.23, б);
• в) когда е_а, диэлектрического шара меньше е_а<, окружающей среды (рис. 19.23, в).

Как известно из § 19.15, линии вектора D начинаются на свободных зарядах. Эти линии прерываются на поверхности металлического шара (см. рис. 19.23, а) и проходят, не прерываясь, через диэлектрический шар (см. рис. 19.23, бив).

Если на рис. 19.23, бив вместо линий вектора D изобразить линии вектора напряженности поля ?, то линии? частично претерпевали бы разрыв на поверхности шаров, так как истоком для? являются не только свободные, но и связанные заряды [см. формулу (19.21а)].