Применение основной формулы

Как указывалось в параграфе П1.5, формулу (П1.3) применяют для определения входной и взаимной проводимости, передачи по току, по напряжению и в других целях.

Рассмотрим вопрос о том, как ею следует пользоваться. Обозначим тип узлы графа, к которым присоединяют ветвь, содержащую источник питания схемы. В дальнейшем полагаем, что источником питания является источник ЭДС либо источник тока, поскольку к ним можно свести любой реальный источник питания. Кроме того, считаем, что источник питания только один. Если же источников питания несколько, то следует воспользоваться принципом наложения, последовательно находя искомую величину от действия каждого из источников, учитывая при подсчетах внутреннее сопротивление последних.

Под В_тп в (П1.3) подразумеваем напряжение источника питания, если в качестве последнего взят источник ЭДС или ток J_mn источника тока.

В качестве тока I в числителе левой части (П1.3) берут ток по той ветви, относительно которой нужно найти искомую величину. Если необходимо определить передачу от источника питания к некоторой s-ветви, то под I понимают ток этой ветви.

Число слагаемых в числителе (П1.3) равно числу возможных путей между узлами тип, причем каждый из них должен проходить по выбранной s-ветви (путь через источник питания не учитывают).

В сумму? С_ГД_Г часть слагаемых может входить со знаком «плюс», часть — со знаком «минус», так как С_г может иметь знак «плюс» или «минус». Для того чтобы определить, какой знак будет иметь С_п руководствуются следующим: произвольно выбирают положительное направление вдоль 5-ветви (ставят стрелку на s-ветви). Если при движении по пути С_г пройдем по s-ветви согласно с положительным направлением этой ветви (по стрелке на ветви), то С_г берется со знаком «плюс», в противном случае — со знаком «минус».

Вычисляя определитель системы А, следует учитывать внутреннее сопротивление источника питания схемы. При питании схемы от источника ЭДС, А подсчитывают при закороченных узлах тп (внутреннее сопротивление источника ЭДС равно нулю). При питании схемы от идеального источника тока ветвь тп, в которой включен источник, при подсчете, А разрывают.

Пример 174.

Определить взаимную проводимость ветви с источником ЭДС (подключенной к узлам тп) и ветви с проводимостью е (рис. П1.8, а).

Рис. П1.8

Решение. Для учета знака С_г примем за положительное направление ветви е направление, указанное стрелкой на рис. П1.8, а.

Тогда.

В графе есть два пути между узлами тип, которые проходят через е. Первый путь изображен на рис. П 1.8, б: С_г = aeb.

Этот путь берут со знаком «плюс», так как при прохождении по ветви е движемся согласно с направлением стрелки на этой ветви. Поскольку при закорачивании ветвей а, е, Ъ (ветвей этого пути) граф вырождается в точку, Д-, = 1.

Второй путь С₂ проходит по ветвям d, е, с (рис. П1.8, в). На этом пути прошли встречно стрелке на ветви е, поэтому С₂ = -dec. При закорачивании ветвей d, е, с граф вырождается в точку, следовательно, Д₂ = 1.

Для нахождения определителя системы Д закорачиваем узлы тип (схема питается от источника ЭДС) и получаем граф на рис. П1.8, г. От последнего переходим к графу на рис. П1.8, д.

Для вычисления Д графа на рис. П1.8, д воспользуемся разложением его по путям между зачерненными точками. Между этими точками два пути: первый — по ветви е, второй — по ветвям (а + с), (b + d). Поэтому Д = е (а + с + Ь + + d) + (а + c)(b + d). Таким образом,

Для расчета передачи схемы на рис. П1.8, а по напряжению между входной ветвью (ветвью с источником ЭДС между узлами тип) и выходной (е) воспользуемся тем, что выходное напряжение на зажимах ветви е равно току /_вых этой ветви, поделенному на ее проводимость.

Следовательно,

Пример 175

Определить изменения, которые произойдут в вычислениях, если схема на рис. П1.8, а будет питаться не от источника ЭДС, а от источника тока (рис. П1.9). Рассчитать передачу по току к ветви е и отношение напряжения на выходе (на ветви е) к входному току. Выходной ветвью является ветвь е, по которой проходит ток 7_ВЫХ. Положительное направление для прохождения по этой ветви то же, что и в примере 174.

Рис. П1.9

Решение. В отличие от примера 174 входной величиной является входной ток ;_вх.

Поэтому.

Числитель правой части (П1.8) такой же, как и числитель правой части (П1.7). Определитель, А в (П 1.8) отличается от определителя в (П1.7) тем, что для (П1.7) он подсчитывался при питании схемы от источника ЭДС, тогда как в рассматриваемом случае он должен быть найден при питании схемы от источника тока. В этих условиях ветвь с источником тока следует считать разомкнутой. Определитель для этого случая был подсчитан ранее (см. формулу (П1.5) в параграфе П1.7).

Отношение выходного напряжения на ветви е к входному току.

Для определения входной проводимости схемы, питающейся от источника ЭДС, в числителе (П1.8) должны быть учтены все возможные пути между узлами тип (путь через источник ЭДС исключается). Например, при вычислении входной проводимости схемы на рис. П1.10, а в числителе (П1.8) должно быть взято четыре слагаемых, так как возможны четыре пути между узлами тип (рис. П 1.10, 6 — б):

Рис.т.10

Все С_г в числителе взяты со знаком «плюс», потому что на этих путях двигались в соответствии с направлением входного тока. Определитель, А (схема питается от источника ЭДС) подсчитан в соответствии с рис. П1.10, е.

Пример 176

Определить передачу по току в двойном Т-мосте (рис. П1.11, а). Схема питается от источника тока J_BX. Выходной ветвью является ветвь g. По ней протекает ток /_вых, положительное направление которого показано стрелкой.

Рис. П 1.11

Решение. На рис. П1.11, б — е показаны два пути — С_х и С₂ с передачами С_х = acg и С₂ = bdg и соответствующие им подграфы для нахождения определителей: = b + е + d; Д₂ = а + с +/.

Определитель графа на рис. П1.12, а найдем методом разложения по ветвям между узлами 1 и 2 (зачернены). Между этими узлами имеется пять путей в соответствии с рис. П1.12, б —е. Подграфы этих путей изображены на тех же рисунках.

Таким образом,

Рис. т. 12

Сопоставление направленных и ненаправленных графов

• 1. В направленных и ненаправленных графах расчет состоит из простых и наглядных операций, при проведении которых мала вероятность ошибки.
• 2. По сравнению с обычными алгебраическими методами решение системы уравнений с помощью графов может дать некоторую экономию времени.
• 3. При составлении определителя системы ненаправленного графа отпадает необходимость подсчитывать взаимно уничтожающие друг друга слагаемые, которые появляются при раскрытии определителя матрицы проводимостей системы уравнений, составленных по методу узловых потенциалов.
• 4. Преимущество направленных графов — простота нахождения передачи по (П1.1). Однако, поскольку граф в готовом виде не задан, сначала нужно построить граф и подсчитать передачи его ветвей.
• 5. Преимущество ненаправленных графов состоит в том, что не требуется составлять никаких уравнений и строить граф (так как графом является сама электрическая схема). Однако определение передачи по (П1.3) требует несколько большего времени, чем подсчет по (П1.1).