Моделирование явлений переноса

1. Задача: Имеется прямоугольная пластина, коэффициент температуропроводности которого зависит от координаты.

.

Задано начальное распределение температуры.

.

а также мощность и координаты источников тепла. Необходимо изучить изменение температуры различных точек пластины с течением времени.

2. Теория. Уравнение теплопроводности для пластины:

где — скорость увеличения температуры, обусловленная наличием в точке с координатами источников тепла.

Приращение температуры равно:

Разобьём прямоугольную пластину на элементы, образующие вертикальные столбцы с номером и горизонтальные строки с номером. Пусть в некоторый дискретный момент времени температура элемента ого столбца ой строки была равна. Чтобы найти ее значение в следующий момент времени необходимо численно решить представленное выше дифференциальное уравнение отдельно по столбцам и отдельно по строкам.

Решая одномерную задачу теплопроводности по столбцам, получаем:

где — быстрота увеличения температуры элемента вследствие наличия в нем источника тепла,. Аналогичным образом решается уравнение теплопроводности по строкам:

Организовав два цикла по и, в которых перебираются все элементы пластины, вложенные в цикл по времени, можно рассчитать распределение температуры пластины в последующие моменты времени. Чтобы исключить влияние направления перебора элементов на результаты моделирования, следует организовать 4 цикла, в которых элементы пластины перебираются слева направо, справа налево, снизу вверх, сверху вниз.

• 3. Алгоритм.
• 1. Задают коэффициенты температуропроводности и вдоль осей координат и, начальное распределение температуры различных элементов пластины, координаты и мощности источников тепла. Считают, что

• 2. Путем последовательного перебора элементового столбца от до с помощью конечно-разностного уравнения (1) пересчитывают их температуры в следующий дискретный момент времени. Повторяют расчеты для всех столбцов.
• 3. Повторяют ту же самую процедуру в противоположном направлении, перебирая элементы от до и используя уравнение (1).
• 4. Путем последовательного перебора элементовой строки от до с помощью конечно-разностного уравнения (2) пересчитывают их температуры в следующий дискретный момент времени. Повторяют расчеты для всех строк.
• 5. Повторяют ту же самую процедуру в противоположном направлении, перебирая элементы от до и используя уравнение (2).
• 6. Вводят текущее распределение температуры на экран, закрашивая элементы с различной температурой различными цветами.
• 7. Возвращение к операции 2. Если цикл по закончился, — выход из цикла.
• 4. Компьютерная программа. Предлагаемая компьютерная программа позволяет исходя из начального распределения температуры и наличия источников тепла, рассчитать температуру различных точек прямоугольной пластины в дискретные моменты времени.

program PROGRAMMA7;

uses crt, graph;

const n=100; m=100; h=1; dt=0.2;

var ii, jj, kk, i, j, DriverVar, ModeVar, ErrorCode: integer;

t: array[1.N, 1. M] of real; q, a, b, bb: real; naprav, uslovie: boolean;

procedure Init; —- Инициализация графики —;

begin DriverVar:=Detect; InitGraph (DriverVar, ModeVar,'c:pgi');

ErrorCode:=GraphResult; if ErrorCode grOK then Halt (1); end;

procedure Param_sred; —Коэффициент температуропроводности-;

begin if j<70 then a:=2 else a:=1; end;

procedure Istoch; — Источники тепла -;

begin if ((i>45)and (i70)and (j<75)) then q:=50 else q:=0; end;

procedure Nach_uslov; - Начальное распределение температуры ;

begin For i:=1 to N do For j:=1 to M do.

begin uslovie:=((j45)and (i>20)and (i<30)).

or ((j35)and (i>50)and (i<60));

if uslovie=true then t[i, j]: =450 else t[i, j]: =1; end;

end;

procedure Raschet; —- Расчет температуры —;

begin Istoch; Param_sred;

t[i, j]: =t[i, j]+a*(t[i, j+1]-2*t[i, j]+t[i, j-1])*dt/(h*h)+q;

if naprav=true then t[i, j]: =.

t[i, j]+a*(t[i+1,j]-2*t[i, j]+t[i-1,j])*dt/(h*h);

end;

procedure Draw;—- Вывод на экран —;

begin if t[i, j]>50 then setcolor (2);

if t[i, j]>300 then setcolor (12);

if (t[i, j]120) then setcolor (10);

if (t[i, j]70) then setcolor (3);

if (t[i, j]30) then setcolor (4);

if (t[i, j]20) then setcolor (5);

if (t[i, j]10) then setcolor (7);

if t[i, j]<10 then setcolor (15);

rectangle (i*5+50,j*5,i*5+54,j*5+4);

end;

BEGIN —- Основная программа —;

Init; Nach_uslov;

Repeat kk:=kk+1;

For i:=2 to N-1 do For j:=2 to M-1 do begin naprav:=false; Raschet; end;

For j:=2 to M-1 do For i:=2 to N-1 do begin naprav:= true; Raschet; end;

For i:=2 to N-1 do For jj:=2 to M-1 do.

begin j:=M+1-jj; naprav:=true; Raschet; end;

For j:=2 to M-1 do For ii:=2 to N-1 do.

begin i:=N+1-ii; naprav:=false; Raschet; end;

if kk/2=round (kk/2) then For i:=2 to N-1 do For j:=2 to M-1 do Draw;

until KeyPressed; CloseGraph;

END.

• 5. Задания для студентов.
• 1. Температура группы элементов, находящихся в центре стержня, достаточно высока. Постройте график зависимости температуры от координаты и исследуйте изменение распределения температуры вдоль стержня c течением времени, если коэффициент температуропроводности во всех точках одинаков.
• 2. Решите предыдущую задачу для случая, когда стержень неоднороден, например, коэффициент температуропроводности его левой половины больше, чем правой.
• 3. Вблизи центра стержня имеется несколько источников тепла. Изучите изменение распределения температуры c течением времени, если стержень однороден.
• 4. Решите предыдущую задачу для случая, когда стержень неоднороден, то есть его коэффициент температуропроводности зависит от координаты.

• 5. Изучите распределение температуры вдоль стержня в случае, когда один конец охлаждается, а другой поддерживается при постоянной температуре.
• 6. Задайте источник тепла, мощность которого периодически изменяется с течением времени с очень низкой частотой. Промоделируйте тепловые волны.
• 7. Температура группы элементов, находящихся в центре пластины, достаточно высока. Исследуйте изменение распределения температуры c течением времени, если пластина однородная и изотропная.
• 8. Решите предыдущую задачу для случая, когда пластина неоднородна.
• 9. Промоделируйте нагревание неизотропной пластины источниками тепла, находящимися в центре.
• 10. Вблизи центра пластины имеется группа поглотителей тепла (источников тепла с отрицательной мощностью). Изучите изменение распределения температуры c течением времени.
• 11. Пластина с отверстием содержит источник тепла и поглотитель тепла. Изучите распределение температуры в различные моменты времени.
• 12. Температура группы элементов вблизи центра пластины поддерживается постоянной. Изучите распределение температуры, если пластина имеет источники тепла с положительной (отрицательной) мощностью.

13. Решите предыдущую задачу для случая, когда пластина анизотропна, то есть ее коэффициент температуропроводности зависит от направления.