Модели ARMA, ARIMA, ARCH, GARCH

Стационарный ряд

При анализе пространственных данных, как правило, предпринимаются попытки объяснения изменений значений одного фактора в зависимости от изменений значений каких-то других факторов. При анализе временных рядов встречаются модели, базирующиеся на другом подходе. Такие модели называются одномерными временными моделями. В моделях этого класса предпринимается попытка смоделировать и спрогнозировать значения некоторых временных параметров, опираясь исключительно на информацию о прошлых значениях исследуемого параметра.

Обычно при использовании подобных моделей не строятся какие-то теоретические конструкции, объясняющие изменения исследуемого ряда. Априори полагается, что используемые данные уже содержат в себе такие модели.

Одна из причин использования временных моделей заключается в том, что они могут быть особенно полезны, когда невозможно найти объясняющие факторы, измеряемые с той же частотой, что и исследуемые переменные. Например, если исследуется дневные биржевые доходности, то в качестве объясняющих переменных могли бы выступать некоторые макроэкономические величины, которые измеряются не чаще, чем раз в месяц.

Рис. 8.1. Индекс FTSE со 2 апреля 1998 г. по 23 октября 2007 г.

При работе с временными моделями необходимо знать, являются ли рассматриваемые ряды стационарными. Этот вопрос важен потому, что стационарные и нестационарные ряды обладают различными статистическими характеристиками, поэтому должны оцениваться разными способами.

Итак, прежде всего необходимо определить, что такое стационарность временного ряда. Различают строго и слабо стационарные ряды.

Строгая стационарность ряда означает, что сдвиг по времени не меняет ни одну из функций плотности распределения ряда. То есть если F — функция распределения, то у строго стационарных процессов есть полезные свойства. Так, например, если процесс является строго стационарным, то его математическое ожидание и дисперсия постоянны в любой момент времени.

Слабо стационарным называют такой процесс, у которого математическое ожидание и дисперсия существуют вне зависимости от времени и, кроме того, автоковариационная функция зависит только от разности значений . То есть будет слабо стационарным, если для всех

где

Последнее уравнение — автоковариационная функция. В общем виде она записывается как.

(8.1).

где

При автоковариационная функция становится просто дисперсией ряда.

Поскольку автоковариационная функция показывает, каку зависит от предыдущих значений, можно заметить, что ковариация будет одинаковой для стационарного ряда, так как функция зависит только от того, насколько далеко моменты времени находятся друг от друга. Следовательно, при условии стационарности ковариация для и будет такой же, как, например, между и

Часто используют автокорреляционную функцию (нормированную на величину дисперсии автоковариацией):

(8.2).

Рис. 8.2. Автокорреляционная функция индекса 'T'TSE.

Значения автокорреляционной функции лежат в интервале [-1, 1]. Если построить значения автокорреляционной функции для то можно получить коррелограмму (график автокорреляционной функции).

Рассмотрим простейшие временные модели.