Способы задания случайных величин

Случайная величина считается заданной, если известно распределение ее вероятностей в форме конкретного закона, под которым обычно понимают всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайных величин Xi и соответствующими им вероятностями Р_i. Известны три формы представления подобного закона.

1. Таблично-графическая — в виде ряда распределения и соответствующего ему многоугольника, пример которых приведен на рис. 2.3.

Как ясно из представленного выше материала, данный способ задания случайной величины является, пожалуй, наиболее простым и довольно наглядным.

Рис. 2.3. Пример ряда (а) и многоугольника (6) распределения.

2) Функция распределения F (x) — функция, представленная аналитически или графически и равная вероятности того, что случайная величина X меньше или равна ее значению х:

(2.5).

Данную функцию также называют интегральным законом распределения, который является самой универсальной характеристикой случайной величины, так как существует для двух ее типов — дискретной и непрерывной. Кроме того (что иллюстрируется с помощью рис. 2.4, а) функция распределения обладает следующими важными свойствами:

• а) является неубывающей функцией своего аргумента, что соответствует условию, при котором для любых х₂ > х₁ справедливо неравенство ;
• б) для х, равного минус бесконечности, данная функция равна нулю: ;
• в) для х, равного плюс бесконечности, эта функция равна единице: ;
• г) вероятность попадания случайной величины на отрезок оценивается по следующим выражениям :
  • 3. Плотность распределения (вероятностей) определяется как первая производная (если существует) от функции распределения случайной величины:

(2.6).

Эту плотность также называют дифференциальным законом распределения, а величину - элементом вероятности. Ее связь с Р (х) и F (x) имеет такой вид:

(2.7).

Данный способ задания случайной величины обладает и другими важными для практики свойствами (часть из которых наглядно подтверждается рис. 2.4, б):

Рис. 2.4. Графики функции (а) и плотности (6) распределения.

• а) плотность вероятности всегда является неотрицательной функцией: f (х) > 0;
• б) определенный интеграл в бесконечных пределах от этой функции равен единице:

что означает также равенство этому значению площади под всей соответствующей кривой.

Помимо приведенных способов представления случайной величины в виде закона большое распространение получили более сжатые формы выражения особенностей ее распределения с помощью числовых характеристик. Большинство из них характеризуют положение случайной величины на оси, указывая там некоторое средне-ориентировочное значение, вокруг которого группируются все ее возможные значения. При этом самым важным таким параметром является математическое ожидание, рассчитываемое по формулам.

(2.8).

где Р_i, f (х) — соответственно вероятности принятия конкретных значений х_i дискретной случайной величиной X и плотность вероятности — для непрерывной.

Второй полезной числовой характеристикой служит дисперсия случайной величины, выражение которой для каждого из ее двух типов имеет следующий вид:

(2.9).

где символом обозначено стандартное отклонение этой величины.

Оба этих параметра имеют графическую интерпретацию (см. рис. 2.4, б) и свой физический смысл: тх является абсциссой центра тяжести площади под кривой f (х), т. е. точкой приложения рассредоточенной массы этой площади, обеспечивающей одинаковый момент всей такой массы вокруг оси, перпендикулярной точке х = 0; а ?_x² служит мерой рассеяния случайной величины X относительно m_x так, что меньшие значения ?_x² делают график f (х) более высоким и узким, а большие — низким и растянутым вдоль оси абсцисс. По этим причинам данные числовые характеристики также называют моментами распределения случайной величины: m_x — первым начальным, ?_x² — вторым центральным.

Кроме второго центрального момента некоторые статистические распределения (например, нормальное) могут иметь центральные моменты более высоких порядков, например третьего и четвертого порядка, которые соответственно называются асимметрией и эксцессом, т. е. указывают на скошенность формы f (х) относительно тх и ее крутость (островершинность). Конкретные способы оценки большинства перечисленных параметров будут даны в следующем параграфе, а иллюстрации их практического применения — во всех остальных главах данной книги.