Математический аппарат и терминология тау

Основные требования к системе и математический аппарат

Зависимость требований к регулятору от требований к системе неоднозначна, изучению этой зависимости для различных классов объектов посвящены разные разделы ТАУ.

Наиболее показательной характеристикой замкнутых динамических линейных систем является амплитудно-частотная характеристика условно разомкнутого контура, включающего все элементы системы, но для полноты описания требуется также амплитудно-фазовая характеристика этого контура. Условно все элементы, частотные свойства которых не могут изменяться произвольно, относят к объекту, что позволяет рассматривать систему как последовательно соединенные в петлю регулятор и объект.

Для линейных систем наиболее эффективен аппарат частотных комплексных характеристик или связанный с ними аппарат преобразований Лапласа. Аргументом преобразования Лапласа является комплексный параметр s, а для частотных характеристик применяется его мнимая часть, т. е. частота. Типичная структурная схема замкнутой системы управления показана на рис. 2.1, где в прямоугольниках записаны частотные характеристики отдельных звеньев, а также применены типовые обозначения сигналов в системе: y (t) — выходная величина объекта; v (t) — предписанное значение выходной величины; u (f) — управляющий сигнал, подаваемый регулятором на объект; h (t) — возмущение, действующее на объект, приведенное к единицам выходной величины; x (t) — состояние объекта, т. е. такое значение его выходной величины, которое было бы при отсутствии возмущения; e (t) — ошибка управления; n (t) — шути измерения выходной величины; z (t) — результат измерения выходной величины; q (t) — выходной сигнал датчика величины у (t). Кроме того, применяется традиционная замена строчных букв на прописные при замене функций времени на их операторное преобразование, например, V (s) — преобразование от сигнала v (t).

Отметим, что преобразование Лапласа от константы есть 1/s. Поскольку, как правило, сами операторные значения входных, выходных и промежуточных сигналов не используются для вычислений, а применяются лишь их отношения, т. е. передаточные функции, то сложилась практика использования модифицированного преобразования, а именно преобразования Лапласа — Карсона, которое получается умножением на s, вследствие чего образ константы есть также константа. На значения передаточных функций это не влияет, поэтому мы будем использовать терминологию преобразований Лапласа.

Рис. 2.7. Расчетная структурная схема САУ.

Структурная схема рис. 2.1 — графическое отображение взаимосвязей сигналов, которое может быть заменено следующей системой уравнений:

При решении этой системы относительно любой из величин внутри контура (например, зависимость У от V, N и Н) в результате неизбежно появляется рациональная дробь от передаточных функций (читателям предлагается сделать соответствующий вывод самостоятельно).

Если же знаменатель этой дроби 1 + обращается в ноль, то вся дробь обращается в бесконечную величину. Это означает, что любые сколь угодно малые входные сигналы вызывают «сколь угодно большие» выходные сигналы, а с учетом поправки на физическую реализуемость это означает, что система вместо того, чтобы находиться в равновесном состоянии, движется к максимально возможному отклонению от него или совершает колебательные движения с максимально достижимой амплитудой.

Для предотвращения этой ситуации как раз и требуется регулятор, расчету которого посвящено данное пособие.

Для исследования устойчивости системы необходимо исследовать взаимосвязь динамических моделей элементов, входящих в систему. Действительно, если две различные системы описываются идентичными математическими моделями, то и их выходные сигналы должны быть одинаковыми при совпадении входных сигналов. Программное обеспечение VisSim позволяет реализовать математические модели подавляющего большинства известных динамических звеньев, а также осуществить соответствующие связи сигналов с выходов на входы и сформировать необходимые входные сигналы. Поэтому запуск имитационного моделирования обеспечивает получение графиков переходных процессов, идентичных реальным сигналам в реальной системе, при условии полного соответствия всех математических моделей своим прототипам — элементам реальной системы.

Наиболее часто в качестве элементов модели встречаются линейные динамические звенья, описываемые рациональными передаточными функциями от s.