Эмпирическое обоснование в формальных науках

«Подчинение опытным данным является золотым правилом, главенствующим в любой научной дисциплине, — пишет М. Алле. Именно оно объясняет необычайный успех западной мысли за последние три столетия. Это правило является одним и тем же как для экономической, так и для физической науки. Никакая теория не может быть принята, если она не подтверждается эмпирическими данными»^[1].

Вместе с тем имеются серьезные трудности на пути приложения принципа доминирующей роли эмпирического подтверждения к формальным наукам — математике и логике. Не вдаваясь в детали, по этому поводу можно сказать следующее.

Косвенное эмпирическое подтверждение играет особую роль и в обосновании утверждений формальных наук, однако сама процедура такого подтверждения является в данных науках чрезвычайно сложной и обычно растянутой во времени. Она включает два разнородных этапа. На первом из них критерием истинности утверждения является не соответствие его реальности, а соответствие его логической или математической интуиции и принятым в логике или математике принципам. Второй этап предполагает включение конкретной логической или математической теории в состав концепции, допускающей прямое или косвенное эмпирическое подтверждение. Только в результате проверки такой концепции логическая или математическая теория способна получить опосредствованное эмпирическое подтверждение.

Следует подчеркнуть, что в этом плане положения логики и математики не отличаются от самых общих научных принципов. Такие принципы тоже не допускают непосредственного сопоставления с опытом и подтверждаются эмпирически лишь в составе конкретных научных теорий, допускающих сопоставление с опытом.

«Теорию множеств и всю математику, — пишет У. Куайн, — разумнее представлять себе так, как мы представляем теоретические разделы естественных наук, — состоящими из гипотез, правильность которых подтверждается не столько сиянием безупречной логики, сколько косвенным систематическим вкладом, который они вносят в организацию эмпирических данных в естественных науках»^[2].

Математическое утверждение получает статус «математической истины», как только выясняется, что оно не противоречит иным доказанным положениям математики. Иными словами, на первых порах истина в математике понимается как когеренция, т. е. как согласие нового положения с ранее принятыми утверждениями.

Большая часть того, что доказывается в математике и считается «математической истиной», так и остается в этом статусе «внутреннего согласования», не находя никакого применения в научных теориях, допускающих эмпирическое подтверждение.

Лишь очень немногие математические результаты оказываются востребованными научными теориями, допускающими сопоставление с опытом. Эмпирическое подтверждение таких теорий означает, что используемые в них математические построения оказываются истинными не только в смысле когеренции, но и в смысле корреспонденции — согласия не только с математикой в целом, но и с существующей вне ее реальностью.

Математика представляет собой динамическое единство, в котором отдельные разделы и теории существуют только в многообразных и постоянно обновляющихся связях с другими разделами математики. Установление соответствия научной теории опыту означает в определенном смысле соответствие опыту и того математического аппарата, который используется в этой теории. Одновременно с опытом оказываются связанными, хотя и косвенно, также все те математические истины, которые тем или иным образом связаны в рамках математики с тем ее фрагментом, который нашел эмпирическое приложение в рамках конкретно-научной теории.

Математика и логика опираются в конечном счете на опыт, хотя их связь с эмпирией не является прямой и всегда опосредствуется многими промежуточными звеньями.

Математика и логика сходны по своей природе, поэтому обсуждение вопроса об эмпирических основаниях математики целесообразно не отрывать от анализа проблемы связи с опытом логики. Об этом говорят, в частности, так называемые «логические парадоксы», периодически заставляющие возвращаться от абстрактных рассуждений о природе «логических истин» к анализу процессов реального мышления. Аналогичные парадоксы периодически возникают и в математике.

В широком смысле парадокс — это положение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися, «ортодоксальными» мнениями. «Общепризнанные мнения и то, что считают делом давно решенным, чаще всего заслуживает исследования» (Г. Лихтенберг). Парадокс — начало такого исследования.

Парадокс в более узком и специальном значении — это два противоположных, несовместимых утверждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы.

Наиболее резкая форма парадокса — антиномия, рассуждение, доказывающее эквивалентность двух утверждений, одно из которых является отрицанием другого.

Особой известностью пользуются парадоксы в самых строгих и точных науках — математике и логике. И это не случайно.

Логика — абстрактная наука. В ней нет экспериментов, нет даже фактов в обычном смысле этого слова. Строя свои системы, логика исходит в конечном счете из анализа реального мышления. Но результаты этого анализа носят синтетический, нерасчлененный характер. Они не являются констатациями каких-либо отдельных процессов или событий, которые должна была бы объяснить теория. Такой анализ нельзя, очевидно, назвать наблюдением: наблюдается всегда конкретное явление.

Конструируя новую теорию, ученый обычно отправляется от фактов, от того, что можно наблюдать в опыте. Как бы ни была свободна его творческая фантазия, она должна считаться с одним непременным обстоятельством: теория имеет смысл только в том случае, когда она согласуется с наиболее важными относящимися к ней фактами. Теория, расходящаяся с такими фактами и наблюдениями, является надуманной и ценности не имеет.

Но если в логике нет экспериментов, нет фактов и нет самого наблюдения, то чем сдерживается логическая фантазия? Какие если не факты, то факторы принимаются во внимание при создании новых логических теорий?

Расхождение логической теории с практикой действительного мышления нередко обнаруживается в форме более или менее острого логического парадокса, а иногда даже в форме логической антиномии, говорящей о внутренней противоречивости теории. Этим как раз объясняется то значение, которое придается парадоксам в логике, и то большое внимание, которым они в ней пользуются.

Специальная литература на тему парадоксов практически неисчерпаема. Достаточно сказать, что только об одном из них — так называемом «парадоксе лжеца» — написано более тысячи работ.

Большая группа парадоксов говорит о том круге вещей, к которому они сами относятся. Их особенно сложно отделить от утверждений, по виду парадоксальных, но на самом деле не ведущих к противоречию.

Возьмем, к примеру, высказывание «Из всех правил имеются исключения». Само оно является, очевидно, правилом. Значит, из него можно найти, по крайней мере, одно исключение. Но это означает, что существует правило, не имеющее ни одного исключения. Высказывание содержит ссылку на само себя и отрицает само себя.

Парадоксы не всегда легко отделить от того, что только напоминает их. Еще труднее сказать, откуда возник парадокс, чем не устраивают нас самые естественные, казалось бы, допущения и многократно проверенные способы рассуждения.

С особой выразительностью это показывает парадокс лжеца. Он относится как раз к выражениям, говорящим о самих себе.

В классическом варианте этого парадокса речь идет о ситуации, когда человек произносит всего одну фразу: «Я лгу». Является ли это высказывание истинным или же оно ложно?

Если оно ложно, то говорящий сказал правду и, значит, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то это его высказывание ложно. Таким образом, оказывается, если говорящий лжет, он говорит правду, и наоборот.

Уже на примере парадокса лжеца хорошо видны характерные особенности парадоксов. Они не ставят явно и прямо конкретных проблем. Парадокс имеет форму краткого рассказа или описания простого в своей основе случая.

Какие же проблемы скрываются за парадоксом лжеца? Почему он приводит к противоречию?

По мысли А. Тарского, причина парадокса лжеца в том, что на одном и том же языке говорится как о предметах, существующих в мире, так и о самом этом «предметном» языке. Язык с таким свойством Тарский назвал «семантически замкнутым». Естественный язык, очевидно, семантически замкнут. Отсюда неизбежность возникновения в нем парадокса. Чтобы устранить его, надо строить своеобразную лесенку, или иерархию, языков, каждый из которых используется для вполне определенной цели: на первом говорят о мире предметов, на втором — об этом первом языке, на третьем — о втором языке и т. д. Ясно, что в этом случае утверждение, говорящее о своей собственной ложности, уже не может быть сформулировано и парадокс исчезнет.

Это разрешение парадокса, предложенное в начале 30-х годов прошлого века, не является, конечно, единственно возможным. Одно время оно было общепринятым, но сейчас былого единодушия уже нет. Традиция устранять парадоксы такого типа путем «расслаивания» языка осталась, но наметились и другие подходы.

Математические и логические парадоксы заставляют в первую очередь уточнить понятие «математической» или «логической истины». Но косвенно парадоксы говорят о расхождении математической или логической теории с реальностью.

• [1] Алле М. Экономика как наука. С. 94.
• [2] Куайн У. Слово и объект. М., 2000. С. 285.