Иллюстрирующая теорию. 
Денежно-кредитная политика

Маша и Саша делят между собой 100 кг моркови и 200 кг репы. Функция полезности Маши равна U = Х^{2У, функция полезности Саши составляет U = XY2, где X — количество моркови; Y — количество репы.}

• 1. Постройте кривую контрактов Маши и Саши.
• 2. Постройте границу потребительских возможностей двух друзей.
• 3. Пусть первоначальное распределение благ оказалось таким:

у Маши: X = 20; Y = 50; у Саши: X = 50; Y = 20,.

при ценах на морковь Р_х = 10 и на репу Р_у = 5.

Является ли первоначальный набор оптимальным? В каком направлении будут меняться цены товаров, если Маша и Саша решат вести торговлю?

Решение

1. Для определения условий торговли воспользуемся свойством оптимальности набора по Парето. Предельная норма замещения моркови репой для Маши^[1] должна быть равна предельной норме замены репы морковью для Саши: 2 У, / X, = У₂ / 2Х₂ Мы знаем, что совокупный объем каждого товара для двух друзей равен тому объему, который имелся у них первоначально:

Выразим У, из формулы предельной нормы замены через X:

Получаем выражения для контрактной кривой Маши и Саши:

Задавая значения X, от 0 до 100, можно найти значение остальных переменных, характеризующих точки на кривой контрактов. Например, приравняем Х_{ последовательно к 0,10, 50,80,90,100. Получим координаты шести точек на контрактной кривой:

Соединив точки, выводим контрактную кривую.

Зная варианты оптимального распределения моркови и репы, найдем уровень полезности, которого достигают Маша и Саша.

• 2. По имеющимся данным можно построить границу потребительских возможностей каждого потребителя.
• 3. Оптимальное распределение благ означает равенство предельных норм замещения двух товаров для двух потребителей. Проверим, выполняется ли это равенство для Маши и Саши.

Предельная норма замещения репы морковью для Маши равна:

Предельная норма замещения моркови репой для Саши составляет.

Мы видим, что

Так как равенство предельных норм замены по функциям полезности не выполняется, то первоначальное распределение не является оптимальным.

Направление изменения цен определяется знаком избыточного спроса для товаров.

Для этого определим выбор потребителей при первоначальных ценах и первоначальном наборе товаров и сравним параметры последнего с первоначальным набором, которым они располагают.

Для Маши первоначальный набор эквивалентен денежному доходу в размере.

При таком доходе оптимальный объем потребления товаров для нее должен быть.

Подставляем в бюджетное ограничение.

и получаем.

Находим равновесные объемы потребления каждого товара для Маши:

Следовательно, Маша стремится добавить к своему первоначальному набору 10 единиц товара X и избавиться от 20 единиц товара Y.

Саша стремится целиком израсходовать свой доход в размере.

Его равновесие наблюдается в случае.

Получаем оптимальные значения потребления каждого товара для Саши:

Итак, Саша стремится добавить к своему первоначальному набору 60 штук товара У и избавиться от 30 штук товара X.

Объем избыточного спроса — разность между количеством товара, которое потребитель хочет иметь, и тем, которое он имеет, — на товар X составляет.

Объем избыточного спроса на товар У равен.

Направление изменения цен товаров совпадает со знаком объема избыточного спроса; цена товара Y будет расти, цена товара X будет сокращаться.

Рассмотрим теперь обмен в денежной экономике.

Пусть в экономике по-прежнему действуют два потребителя, А и В, которые могут обмениваться товарами X и Y. Первоначальная наделенность составляет набор W. Введем денежные цены. Товар X может быть продан или куплен на конкурентном рынке, но цене Р_х а, а единицу. Товар Y может быть продан или куплен на конкурентном рынке по цене P_Y за единицу. Проанализируем, каким образом совершается обмен в денежной экономике.

Воспользуемся диаграммой Эджуорта (рис. 3.6).

Каждый потребитель стремится максимизировать свою функцию полезности:

Бюджетное ограничение индивида в данном случае — это та сумма денег, которую может получить потребитель от продажи своего первоначального запаса и которую индивид полностью тратит на товары X и Y, покупая их по конкурентным рыночным ценам.

Для индивида А бюджетное ограничение составит Для индивида В бюджетное ограничение будет равно Заметим, что, так как.

в данной экономике имеется только одна линия цеп, которая соответствует обоим видам бюджетного ограничения (жирная линия на рис. 3.6).

Рис. 3.6. Неравновесие в денежной экономике

Линия цен обязательно проходит через точку первоначального запаса W.

Решая задачу максимизации полезности при бюджетном ограничении, выражаемом линией цен, для каждого потребителя, находим оптимальный выбор обоих индивидов. Частный оптимум для индивида А находится как точка касания линии цен и максимально доступной кривой безразличия U_A. Это точка Е_х. Частный оптимум для индивида В находится как точка касания линии цен и максимально доступной кривой безразличия U_B. Это точка Е₂.

Вспомним, что анализ поведения потребителя при наличии первоначального запаса оперирует понятиями валовой и чистый спрос на товар. Валовой спрос определяется конечной величиной товара у потребителя. Чистый спрос равен разнице между валовым спросом и первоначальным запасом.

При сложившейся структуре цен индивид А оказывается чистым продавцом товара X и чистым покупателем товара Y; индивид В будет чистым покупателем товара X и чистым продавцом товара Y.

Однако, как мы видим на графике, точки частных оптимумов двух индивидов нс совпадают:

Индивид А хотел бы приобоести товао У в иазмере Но индивид В хочет продать всего лишь объем.

На рынке товара Y наблюдается неравновесие, спрос на товар Y превышает его предложение:

Вместе с тем индивид В хотел бы приобрести товар X в размере АХ° =(Х*_В-X™). А индивид А хочет продать значительно больший объем XX^s = (X'f — Ад). Предложение товара X превышает спрос на него: XX^п < A X^s.

Неравновесие наблюдается, таким образом, и на рынке товара X. Следовательно, нельзя говорить об общем равновесии в этой экономике.

Неравновесное состояние ведет к изменению цен товаров. Так как предложение товара X превышает спрос на него, цена товара X будет снижаться. Поскольку спрос на товар У больше предложения данного товара, цена товара У будет расти. Общее равновесие будет достигнуто там, где цены стабилизируются. Сирое на каждом рынке будет равен предложению. Точки частных оптимумов всех потребителей совпадут. Это означает равенство предельных норм замещения двух товаров для всех потребителей между.

р

собой и отношению цен: MRS^yMRSxy ⁼~> ^чт0 соответствует точке.

^PY

касания двух кривых безразличия между собой и с линией цен (рис. 3.7).

Рис. 3.7. Равновесие в денежной экономике.

• [1] Индексом 1 будем обозначать параметры поведения Маши; индексом 2 —параметрыповедения Саши.