Алгебра Средневековья и Возрождения

Алгебраическая традиция материального эфира не прекращалась и после заката античной цивилизации. Математические методы Аполлония и Диофанта были известны на средневековом Востоке. Опять же самую существенную роль здесь сыграли переводы античных авторов. Если в решении квадратных уравнений арабские ученые следовали традиции евклидовой геометрии, то при решении кубических уравнений типа х^[1] + г = рх^[2] они использовали методы алгебры пересечений. «Несколько ученых X в. — ал-Хазин, Ибн ал-Хайсам и другие — дали геометрическое построение величины х, представив ее (используя нашу терминологию) как абсциссу точки пересечения двух подходящим образом подобранных конических сечений. Этот геометрический метод, известный грекам со времен Евдокса (его применил к удвоению куба Менехм), приобрел основное значение в алгебре стран ислама»¹.

Ибн ал-Хайсам свел решение задачи по определению места отражения светящейся точки от цилиндрического зеркала по данным положениям точки и глаза к решению уравнения четвертой степени. Само же решение было достигнуто с помощью пересечения окружности и гиперболы. Уже упоминавшийся нами переводчик Архимеда Сабит ибн Курра использовал пересечение гиперболы и окружности для решения задач трисекции угла и построения двух средних пропорциональных. Кстати, Сабиту ибн Курре принадлежит и перевод «Конических сечений» Аполлония.

В XV в. аль-Каши решал уравнения четвертой степени с помощью пересечения конических сечений. «Аналогичным образом Джемшид аль-Каши (ум. 1436) доказал, что пересечения равносторонней гиперболы с произвольной гиперболой и эллипсом, которые Аполлоний применял в предложении V52, равносильны решению алгебраического уравнения четвертой степени… Аль-Каши в своей книге „Ключ арифметики“ сообщал, что написал книгу о классификации уравнений четвертой степени и для каждого уравнения указал способ его решения с помощью пересечения конических сечений общего вида»^[2].

Можно привести еще один пример решения уравнения четвертой степени с помощью конических сечений: «Аль-Кухи решал с помощью пересечения двух гипербол задачу о построении равностороннего пятиугольника, вписанного в квадрат, сводящуюся к уравнению х⁴ + 32а⁴ — Асос⁴ + 52а^[2]х^[2] + + 16а^[1]х»^[1].

Но самым известным арабским алгебраистом был Омар Хайям. Он не смог дать числового решения уравнений третьей степени, выразив надежду, что эго произойдет в будущем. Хайям оказался прав, такое решение было достигнуто итальянскими алгебраистами в XVI в. Сам же Хайям объявил общим методом построения корней уравнений именно пересечение конических сечений. Хайям выделил 14 канонических классов уравнений третьей степени. «Рассматривая каждый отдельный класс названных уравнений, он показывает возможность решения их посредством конических сечений и указывает число корней — разумеется, положительных, ибо арабы не интересовались другими»^[8].

Каждому классу он поставил в соответствие пару конических сечений. Для этого он использовал параболы, равносторонние гиперболы и окружности. Корни уравнений выражались через абсциссы точек пересечения конических сечений. Хайям решил кубическое уравнение*³ + рх^[9] = q путем такого пересечения. Он пишет, что этот случай «был решен при помощи свойств круга и параболы»^[9]. Разберем более подробно способ решения уравнения ^х3 + qx = рх^[9] + г (рис. 2.8).

Рис. 2.8.

Хайям представляет все коэффициенты этого уравнения как некоторые геометрические объекты разной размерности так, чтобы в итоге все члены уравнения были размерности три. Коэффициент р соответствует линии ВС так, как он домножается над;^[9] (и тогда как раз получается размерность три). Коэффициент q соответствует квадрату на АВ, коэффициент г — параллелепипеду с высотой 5 и основанием квадратом АВ. На рис. 2.8 эти коэффициенты выражаются следующим образом:

При этом х — ЕВ и у = ЕК. Тогда уравнение окружности, которую использует Хайям, будет.

а уравнение используемой равносторонней гиперболы.

Если подставить вместо коэффициентов их геометрические выражения, то для окружности получим следующее выражение:

т.е. это известное свойство окружности г/² = х₁х₂. Для гиперболы получается следующее выражение:

Получаем ЕВ? DM=ЛВ? BD. Теперь учтем, что ЕВ = КМ. Тогда КМ? DM= - АВ? BD и есть существенное свойство равносторонней гиперболы, которое утверждает равенство данных площадей. Итак, точка К с координатами х и у будет искомым корнем.

Скажем несколько слов о византийской математике. Она ограничилась лишь комментариями к Аполлонию и Диофанту. Так, в VI в. Евтокий, кроме упоминавшихся комментариев к Архимеду, подробно разобрал ряд сочинений Аполлония. Анфемий из Трал, известный как строитель собора Святой Софии в Константинополе, написал трактат о зажигательных зеркалах. Этот трактат был «весьма интересный для истории конических сечений»^[13][14].

В XIII в. Максим Плануд написал комментарий к первым двум книгам «Арифметики» Диофанта, хотя в этом трактате он обошел все трудные места. Первое появление «Конических сечений» Аполлония в Западной Европе относится к переводческой деятельности Герардо Кремонского, т. е. к XII в. Задачи из «Арифметики» Диофанта встречаются у первого крупного математика Западной Европы Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Кстати, Леонардо Пизанский использовал, как и Диофант, аддитивный принцип образования степеней. Несколько неопределенных уравнений решает современник Фибоначчи Иордан Неморарий. Но переводов «Арифметики» Диофанта в Средние века не было. «Таким образом, в Европе сложилась несколько парадоксальная ситуация: ученые пользовались алгебраическими методами Диофанта, не будучи знакомы с его произведениями»².

Следует сказать, что практически все крупные математики того периода использовали степени выше третьей. Правда, как правило, они использовали другие обозначения степеней по сравнению с Диофантом. Но использование степеней выше третьей, например коссистами, говорит о том, что круг их алгебраических интересов выходил далеко за границы традиции математических первоэлементов (евклидовой геометрии).

Первые явные успехи алгебраической традиции материального эфира связаны с итальянскими математиками начала XVI в. Естественно, речь идет о решении кубического уравнения в радикалах. «Арифметика» Диофанта еще не переведена на латынь, но именно методы Диофанта позволяют решить кубические уравнения в радикалах. Кстати, первое появление задач Диофанта происходит именно в среде итальянских алгебраистов, которые занимаются решением кубических уравнений. Речь идет о Бомбелли. Именно «в знаменитой „Алгебре“ Рафаэля Бомбелли были помещены 143 задачи Диофанта»¹. Алгебра была составлена около 1560 г., издана была только в 1572 г.² И лишь спустя три года появился латинский перевод «Арифметики», сделанный Ксиландром (Вильгельмом Хольцманом).

Вернемся к решению кубических уравнений в радикалах. Это решение принадлежит Сципиону дель Ферро, и затем оно же было с большой степенью вероятности найдено Николо Тарталья. Точное время открытия неизвестно. Сципион дель Ферро по обычаям того времени держал это открытие в тайне. Но точно известен год его смерти, поэтому в любом случае решение было найдено до 1526 г. В 1535 г. это же решение нашел и Тарталья в ночь перед математическим турниром с Фиори, который являлся учеником Сципиона дель Ферро.

Итак, предметом рассмотрения явилось уравнение х³ + ах² + Ьх + с = = 0. Сципион дель Ферро делает подстановку в стиле Диофанта х = у — а/3, которая преобразует исходное кубическое уравнение к виду у³ = ру + q. Затем снова делается новая подстановка в стиле Диофанта у = и + v. В соответствии с этим у³ превращается в.

После чего Сципион дель Ферро приравнивает первое слагаемое этой суммы к р, а второе слагаемое — к q. Соответственно получаем 3uv = р и и³ + v³ = q. Выражаем одно неизвестное через другое. В данном случае выражаем v = р/(3и). Подставляем в уравнение и³ + v³ — q и получаем и³ + + р/(3и)³ = q. Переписываем это уравнение в виде.

и получаем окончательно.

Это квадратное уравнение относительно г/³. Решаем его обычным способом, как это делается в средней школе, и получаем корни.

Точно такие же корни получаются, если выразить не v = р/(3и), как это сделали чуть выше, а и = p/(3v). «Без потери общности мы можем принять.

• 1 Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статья И. Г. Башмаковой. С. 25.
• 2 История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 296.

К сожалению, нам неизвестно содержание семи книг «Арифметики» Диофанта. Возможно, что подобное решение там и присутствовало. Возможно, что Сципион дель Ферра знал чуть больше Диофанта, чем его современники. Тогда не надо будет гадать, как практически на пустом месте появилось такое доказательство у малоизвестного до этого Сципиона дель Ферра. Хотя это только предположения, которые отнимают, возможно, вполне заслуженную славу у итальянского математика. Поэтому совершенно не стоит на них настаивать, тем более что сам Сципион дель Ферра никогда открыто не похвалялся тем, что именно он сделал это открытие. Теперь это уже дело далекой истории.

Вышеприведенный вывод формул для решения кубического уравнения был дан в «Великом искусстве» Кардано. Именно Кардано выведал способ решения кубического уравнения у Тарталья, которому обещал не раскрывать его. Но потом Кардано ездил к родственникам Сципиона дель Ферро и якобы уже из бумаг Сципиона дель Ферро узнал решение, поэтому и опубликовал его. Так вот, в этой книге приводилось еще одно очень значимое математическое решение. Это решение в радикалах уравнения четвертой степени, данное учеником Кардано Луиджи Феррари.

Этот метод также использует подстановки в стиле Диофанта. Сначала Феррари использует подстановку, которая сводит уравнение четвертой степени к виду х⁴ + ах¹ + Ьх + с — 0. Феррари замечает, что это уравнение можно преобразовать к виду х⁴ + ах² = -Ьх — с, затем к виду

т.е. прибавить к обеим частям по а²/А. Очевидно, что в левой части получается квадрат: (х² + а/2)². Затем Феррари вводит новое неизвестное t и с помощью добавления к обеим частям равенства выражения 2(х² + а/2)1: + t² снова получает слева полный квадрат, ибо.

Тогда правая часть основного уравнения -Ьх — с + а¹/А будет преобразована к виду.

Стиллвелл Д. Указ. соч. С. 103.

(_а2 Л

Выражение 2tx^[15][16] — bx + 11^[16] + at — с + — I станет тоже полным квадратом, если Ъ^[16] = 2?(4^^[16] + 4я? + я^[16] — 4с). Последняя подстановка определяется простым подбором. Феррари отдельно решает это кубическое уравнение 2t (At^[16] + Aat + а^[16] — 4с) = 8t^[23] + 8at^[16] + 2аЧ — 8ct = 0. «Решив это кубическое уравнение и найдя один из его корней, Феррари извлекал квадратные корни из обоих полных квадратов и получил квадратные уравнения а (b ^>

х^[16] + — + t₀ = ±y[2t^ х—, корни которого являются корнями данного.

2 V >

уравнения"¹.

Феррари вначале избавляется от члена 3-й степени, но это совсем необязательно. «Кардано определенно отмечает, что к указанному здесь виду легко можно свести такие уравнения, в которых вместо члена 3-й степени отсутствует член 1-й степени. Это достигается преобразованием, которое он применял к таким уравнениям уже и раньше и которое соответствует подстановке х = k/y> где k — положительная или отрицательная постоянная»^[16]. Все вышеприведенные подстановки вполне находятся в круге методов, которые использовал Диофант. При этом Диофант начинал с преобразования более общего неопределенного уравнения к определенному, например кубическому. Может быть, по этой причине связь решений итальянских алгебраистов и Диофанта была не столь очевидной.

Теперь разберем неприводимый случай, который возникает при решении кубического уравнения х³ = рх + q и (р/З)^[23] > (q/2)^[16]. Здесь впервые в Западной Европе появляется понятие о мнимых величинах. Сначала они появляются у Кардано. «Кардано показал, что мнимые корни 5- V-15 и 5 + V-15, к которым приводит обычное решение системы уравнений х + + у = 10, ху = 40, действительно удовлетворяет этим уравнениям, если произвести с ними вычисления как с другими двучленными величинами и положить V-15 • V—15 = 15»^[23].

Но окончательно Кардано признал мнимые решения софистическими и ненужными. Иную позицию занял Бомбелли, который уже упоминался нами как большой любитель Диофанта. «Бомбелли пишет, что разность {q/2)^[16] — (р/З)^[23] по извлечении квадратного корня „не может быть названа ни плюсом, ни минусом“; поэтому я буду называть ее плюсом минуса, когда она должна прибавляться, а в тех случаях, когда она должна отниматься, я буду называть ее минусом минуса… корни этого рода покажутся многим скорее софистическими, чем имеющими действительное значение, такого же мнения держался и я до тех пор, пока не нашел доказательства на линиях»^[32].

Действительно, Бомбелли продвинулся немного дальше Кардано в решении кубического уравнения в неприводимом случае. При этом он как раз использовал мнимые числа. Ему же принадлежат восемь правил оперирования мнимыми величинами. Опять же для решения неприводимого случая Бомбелли вводил диофантовы подстановки. При этом ему удалось получить действительный корень, «хотя он выражается через кубические корни из мнимых величин»^[33]. Но общего решения проблемы неприводимого случая Бомбелли не достиг, ибо при дальнейшем определении действительного решения пришел опять к неприводимому случаю.

Теперь рассмотрим деятельность одного из самых известных французских математиков XVI в. Виета. Алгебра Виета — это полное возрождение методов Диофанта. Именно с Виета традиция математики материального эфира закрепилась во Франции. Сама алгебра Виета называлась видовой логистикой: «Предметом видовой логистики является система математических объектов, частью геометрических, частью псевдогеометрических, связанных между собой отношениями, аналогичными арифметическим. Эти объекты образуют шкалу, лестницу величин и суть сторона или корень, квадрат, куб, квадрато-квадрат, квадрато-куб и еще бесконечное множество других скаляров, принадлежащих к различным реальным или фиктивным размерностям — длине или ширине, площади, объему, площади-площади, плошади-объему и т. д.»^[34]

Все эти обозначения взяты из «Арифметики» Диофанта. «Знакомство с текстом „Арифметики“ было началом новой жизни методов Диофанта. Наиболее глубоко методами великого ученого овладели Франсуа Виет … и Пьер Ферма. Оба они свободно пользовались ими для определения рациональных решений неопределенного уравнения второй степени, а для уравнений третьей степени — методами „касательной“ и „секущей“, однако последний применялся только для того же случая, что и у Диофанта (т.е. когда одна из заданных рациональных точек является конечной, а другая — бесконечно удаленной)»^[35].

Виету принадлежит тригонометрическое решение неприводимого случая кубического уравнения. Опять же решение было достигнуто с помощью комбинации методов Диофанта и тригонометрии. Рассмотрим кубическое уравнение х^д + ах + Ь = 0. С помощью диофантовой подстановки х = ky это уравнение сводится к виду 4г/^[35] — 3у = с, при этом k подбирается так, чтобы оно 1−4а

равнялось k = J—. «Суть выражения 4у^[35] — 3у такова, что 4cos^[35]0 — 3cos0 =.

= cos30; следовательно, полагая у = cos0, мы получаем cos30 = с. Если дано с, тогда мы можем построить треугольник с углом cos~^хс = 30. Трисекция этого угла дает нам решение уравнения у = cos0. Обратно, задача трисекции угла с косинусом с эквивалентна решению кубического уравнения 4у^[35] — 3у — с"^[40].

Следует упомянуть, что Виет систематически употреблял различные подстановки для элиминирования членов уравнений. Наиболее часто он применял подстановки х — у + /г, х = k/y, х = ky.

• [1] Там же. С. 155.
• [2] Розенфельд Б. А. Указ. соч. С. 151, 155.
• [3] Розенфельд Б. А. Указ. соч. С. 151, 155.
• [4] Розенфельд Б. А. Указ. соч. С. 151, 155.
• [5] Розенфельд Б. А. Указ. соч. С. 151, 155.
• [6] Там же. С. 155.
• [7] Там же. С. 155.
• [8] Цейтен Г. Г. История математики в древности и средние века. С. 207.
• [9] Хрестоматия по истории математики. Т. 1. С. 58.
• [10] Хрестоматия по истории математики. Т. 1. С. 58.
• [11] Хрестоматия по истории математики. Т. 1. С. 58.
• [12] Хрестоматия по истории математики. Т. 1. С. 58.
• [13] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 249.
• [14] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 25.
• [15] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. М., 1970. С. 295.
• [16] Цейтен Г. Г. История математики в 16 и 17 веках. М.-Л., 1938. С. 107.
• [17] Цейтен Г. Г. История математики в 16 и 17 веках. М.-Л., 1938. С. 107.
• [18] Цейтен Г. Г. История математики в 16 и 17 веках. М.-Л., 1938. С. 107.
• [19] Цейтен Г. Г. История математики в 16 и 17 веках. М.-Л., 1938. С. 107.
• [20] Цейтен Г. Г. История математики в 16 и 17 веках. М.-Л., 1938. С. 107.
• [21] Цейтен Г. Г. История математики в 16 и 17 веках. М.-Л., 1938. С. 107.
• [22] Цейтен Г. Г. История математики в 16 и 17 веках. М.-Л., 1938. С. 107.
• [23] Там же. С. 103.
• [24] Цейтен Г. Г. История математики в 16 и 17 веках. М.-Л., 1938. С. 107.
• [25] Цейтен Г. Г. История математики в 16 и 17 веках. М.-Л., 1938. С. 107.
• [26] Цейтен Г. Г. История математики в 16 и 17 веках. М.-Л., 1938. С. 107.
• [27] Там же. С. 103.
• [28] Цейтен Г. Г. История математики в 16 и 17 веках. М.-Л., 1938. С. 107.
• [29] Там же. С. 103.
• [30] Цейтен Г. Г. История математики в 16 и 17 веках. М.-Л., 1938. С. 107.
• [31] Там же. С. 103.
• [32] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 296—297.
• [33] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 297.
• [34] Там же. С. 309.
• [35] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 26.
• [36] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 26.
• [37] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 26.
• [38] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 26.
• [39] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 26.
• [40] Стиллвелл Д. Указ. соч. С. 104.