Переходные процессы в системах автоматического регулирования

Переходные процессы в системе могут быть найдены с помощью обратного преобразования Лапласа и Карсона.

Если F (s) есть карсоново изображение функции /(/), F (s) = L[f (t)], то сам входной сигнал (оригинал).

где с — абсцисса сходимости.

Примечание. Преобразование Лапласа-Карсона применимо, если /(/) = О, / < 0 и если можно выбрать такое положительное число с, чтобы существовал оо интеграл J/(f)? e~^adt. Если интеграл существует для всех с < с₀, то с₀ называ;

о ется абсциссой абсолютной сходимости функции /(/).

Предположим, что звено имеет входное воздействие /:

Тогда /(/) известно. По прямому преобразованию Карсона находится F (s), а затем изображение выходного сигнала X (s) = lV (s)F (s). Предположим, что это изображение запишется в виде двух полиномов: M (s)

X (s) =—— .Порядок полинома N (s) равен я, больше или равен N (s)

т — порядку полинома M (s).

Рис. 1.22. Пример преобразования структурной схемы

Для нахождения оригинала x (t) нужно брать интеграл, что представляет большие трудности. Для дробно-рациональных функций формула (1.70) переходит в формулы разложения Хевисайда. Для наиболее характерного случая (для случая, когда N (s) имеет простые, т. е. отличные от нуля, и различные корни) эта формула записывается:

где N'(s_k) = [ — ]; Мо и iV₀— полиномы M (s) и ]V (.y), если вместо s

V Ss

подставить ноль; s_k — корни уравнения N (s) = 0; s_kt — функция времени. Число корней равно я, т. е. порядку полинома N (s).

Пример. Требуется найти кривую переходного процесса ЭМУ поперечного поля, если на вход подается скачкообразное напряжение U_y = 5 В, коэффициент усиления К_ЭМу = 10, постоянная времени цепи управления Т_у = 0,2 с, короткозамкнутой цепи — Г_кз = 0,5 с. Требуется найти ЭДС продольной цепи в функции от времени — Ed (/).

Рис. 1.23. Кривая переходного процесса ЭМУ поперечного поля.

Исходное выражение: (Г, у+ 1) (Т_к^ + 1 ) E_cj (s) = K_myUy (s): изображение по Карсону ступенчатой функции U_y(s) = 5.

Изображение выходной величины E по Карсону:

Находим корни s_k полинома N (s) при N (s) = 0:

Находим производную N'(s): Ns) = 0,2s + 0,7.

Для определения оригинала функции, т. с. уравнения кривой переходного процесса ?,/(/), воспользуемся формулой (1.71):

Графически уравнение кривой переходного процесса изображено на рис. 1.23.

За время переходного процесса /_п._пр принимается время, когда выходная величина достигла 95% от установившегося значения.