Понятия напряжения и напряженного состояния в точке тела

Для оценки прочности элементов конструкций знания только внутренних силовых факторов оказывается недостаточно. Необходимо располагать сведениями о том, как именно распределяются внутренние силы по сечению. В соответствии с гипотезами сплошности и однородности материала внутренние силы распределяются, но сечению непрерывно, однако интенсивность взаимодействия между частицами материала в разных точках сечения в общем случае различна.

Для оценки интенсивности внутренних сил используется понятие напряжения, введенное французским ученым О. Коши в 1822 г. Рассмотрим в сечении тела малую окрестность произвольной точки С площадью АЛ (рис. 1.11, а).

Равнодействующий вектор сил, действующих на площадку АЛ с нормалью {п}, обозначим как {АI⁷). Усредненным, или средним, напряжением назовем отношение силы, действующей в площадке, к ее площади:

При уменьшении площади путем стягивания ее границ к точке С в пределе получим.

Огюстен Луи Коши (Augustin Louis Cauchy, 1789—1857) — великий французский математик и механик, член Лондонского королевского общества, Парижской, Петербургской и других академий наук. Разработал фундамент математического анализа, внес огромный вклад в алгебру, математическую физику и многие другие области математики; один из основоположников механики сплошных сред. Опубликовал свыше 800 научных трудов в области механики, астрономии, оптики.

Рис. 1.11. Напряжение в площадке проходящей через точку тела.

Вектор {р} называется вектором полного напряжения и характеризует интенсивность сил в бесконечно малой площадке с нормалью {/?}, проходящей через точку С. Его размерностью в системе СИ является ныотон, отнесенный к квадратному метру (Н/м²), или паскаль (Па). Наиболее удобно механическое напряжение выражать в мегапаскалях (1 МПа = 10⁶ Па).

Подчеркнем, что вектор полного напряжения {р,}, вычисленный для площадки, проходящей через ту же точку С, но с другой нормалью {я,}, в общем случае отличается от {р}.

Отдельного внимания заслуживает возникающий в площадке вектор момента. В сопротивлении материалов предполагается, что при уменьшении площадки действующий в ней момент {AM} стремится к нулю. Отметим, что такой подход не является единственным. Альтернативный подход используется в моментной теории упругости.

Введем локальную систему координат с центром в точке С, осью х, совпадающей с нормалью, и осями у, 2, принадлежащими рассматриваемой площадке (рис. 1.11,6).

Проекция вектора полного напряжения на нормаль к сечению обозначается греческой буквой, а и называется нормальным напряжением. Поскольку нормаль к сечению направлена, но оси х, символ, а снабжается индексом а₍. В соответствии с физическим правилом знаков положительным считается растягивающее нормальное напряжение, а отрицательным — сжимающее напряжение. Проекция полного напряжения на плоскость сечения называется касательным напряжением и обозначаются как т.

Полное касательное напряжение т, в свою очередь, может быть разложено на компоненты, направленные вдоль осей, лежащих в плоскости сечения. Как правило, в качестве таких осей используются главные оси сечения. Проекции полного напряжения на оси у и 2 обозначаются буквой т с индексами соответственно т и т_2Г. Первый индекс напряжения указывает, параллельно какой оси действует напряжение, второй индекс указывает на нормаль к плоскости, в которой действует напряжение^[1].

Кроме рассмотренного сечения, через точку С можно провести сечения в других направлениях и определить величины нормальных и касательных напряжений в элементарных площадках с другими нормалями. Для описания этой физической сущности вводится специальное понятие «напряженное состояние в точке тела».

Напряженное состояние в точке тела представляет собой совокупность напряжений во всем множестве элементарных площадок, проходящих через заданную точку.

Для численного описания физического понятия «напряженное состояние» нам потребуется математическая величина, называемая тензором второго ранга, описание которой будет дано в гл. 7. Будет показано, что для полного описания напряженного состояния в точке достаточно знать шесть величин — <�з_х, с_у, g_z и т^, т,₂, V.

• [1] В учебной литературе может использоваться иная система индексации, которая, являясь достаточно консервативной, вступает в противоречие с системой индексации, используемой в матричном исчислении. Однако, поскольку матрицы симметрические, данное различиене носит принципиального характера.