Анализ цепей с переключаемыми конденсаторами

В микроэлектронике для замены резисторов в фильтрах, аналого-цифровых преобразователях и других устройствах обработки сигналов нашли применение дискретно-аналоговые цени с коммутируемыми конденсаторами. Принцип создания резистивного элемента цепи на переключаемом конденсаторе рассмотрим на примере схемы с емкостью С, периодически подключаемой с помощью коммутатора Sw к источникам напряжения (рис. 8.6, а).

Частоту коммутации выбирают достаточно большой, чтобы в течение периода v напряжения ii (t) и u>(L) можно было считать неизменными. В первом положении переключателя в интервале п < t < (п + l/2)v конденсатор при напряжении и_л обладает зарядом q = Си_л, а во втором положении (п + l/2)v l) v его заряд будет q₂ = Си₂ (рис. 8.6, б). При периодической коммутации получим приращение заряда Aq = С (и — и₂), которое можно интерпретировать как среднее за период значение тока от узла 1 к узлу 2:

Если ввести обозначение Rq = v/C, то приведенное выражение имеет форму закона Ома /_ср = (и_л — u₂)/R_c, т. е. периодически коммутируемый конденсатор эквивалентен резистору, включенному между точками 1 и 2.

Описание схем на переключаемых конденсаторах (ПК-схем), оперирующих с дискретными последовательностями, выполняют на основе разностных уравнений с использованием передаточных.

Рис. 8.6. Схема на переключаемом конденсаторе (а) и временные диаграммы его работы (б).

а п (_Я + i/2)v (n+l)v t

б

функций в 2-области и дискретного преобразования Фурье. Для приведенного примера, но основному уравнению Д<�у = vi_cp(nv) = = vu (nv)/R_c несложно записать разностное уравнение в виде q[(n + l) v] = q (nv) + (v/R_c)u (nv), которому в 2-области соответствует выражение U (z) = (T?c/v)[l/(2- 1)](2(2).

Устройства с переключаемыми конденсаторами синтезируют на основе аналоговых прототипов, например низкочастотного фильтра (рис. 8.7, а), заменой резисторов ПК-схемами, которая.

в.

Рис. 8.7. Схема аналогового фильтра (а), ее модель с коммутируемым конденсатором (б) и последовательность работы ключей (в) приводит к дискретно-аналоговой цени (рис. 8.7, б).

Рассматривая процессы изменения заряда конденсаторов в различных фазах состояния ключей (рис. 8.7, в) на интервалах hv < t < [(/г + l/2)v] и [(п + l/2)v] < t < [{п + l) v], можно получить разностное уравнение (С + С")и₂(п + 1) = Си_л(п) + С"и₂(п), которое удобно записать в типовой форме с использованием отношения емкостей, а = CJC'.

Соответствующая передаточная функция ПК-схемы имеет вид.

Дальнейшая задача состоит в определении параметров ПК-модсли, позволяющих с допустимой погрешностью получить идентичные с прототипом характеристики. Обычно при построении фильтров ориентируются на совпадение частотных характеристик в некотором диапазоне частот. Амплитудно-фазочастотная характеристика (АФЧХ) прототипа описывается соотношением.

Частотная характеристика ПК-схемы, полученная из ее передаточной функции при 2 = e^{J (av}, имеет вид.

Если потребовать совпадения характеристик в области низких частот, то, воспользовавшись приближенным соотношением.

e^J<,)V ~ 1 + jcov и представив АФЧХ ПК-схемы в форме H_c(j) ~ ~ 1/[а + /cov (1 + а)|, можно составить равенство aH_c(ju>) ~ H_RC(Jсо), из которого следует условие (1 + 1 /а) = x/v.

Вычисленные характеристики позволяют выполнить расчет установившихся и переходных режимов ПК-схемы.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Запишите уравнения элементов с изменяющимися параметрами и поясните смысл входящих в них составляющих.
• 2. Перечислите известные методы расчета нестационарных цепей и поясните их особенности.
• 3. Дайте определение цепи с переключаемыми конденсаторами.
• 4. Что можно считать эквивалентом периодически коммутируемого конденсатора и при каких условиях?