Переходные процессы в цепи постоянного тока с одним индуктивным (Z,) элементом

Рассмотрим несколько примеров переходных процессов, возникающих при коммутации в цепи постоянного тока с одним индуктивным элементом.

Подключение источника постоянной ЭДС к неразветвленной цепи с резистивным и индуктивным элементами.

В цепи при замыкании ключа К в момент времени /=0 (рис. 2.1) появится ток / и напряжение на резистивном u_R = R i и индуктивном u_L = Ldi/dt элементах.

Составим дифференциальное уравнение цепи. По второму закону Кирхгофа

т.е. получается неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Общее решение дифференциального уравнения (2.1) запишем в виде суммы двух составляющих:

Решение справедливо для любого момента времени после коммутации, т. е. с момента t = 0+.

Первая составляющая в решении (2.2) называется установившейся. Это установившийся, т. е. постоянный ток в цепи после окончания переходного процесса (который теоретически продолжается бесконечно):

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что это частное решение удовлетворяет неоднородному дифференциальному уравнению (2.1).

Вторая составляющая в (2.2) — общее решение однородно;

где р = -R/L — корень характеристического уравнения.

Таким образом, с учетом (2.3) и (2.4) общее решение (2.2) неоднородного дифференциального уравнения (2.1) имеет вид:

".

Осталось найти значение постоянной интегрирования А. Для этого обратимся к закону коммутации для индуктивного элемента в момент времени замыкания ключа /=0. Так как ток в индуктивном элементе не может измениться скачком, а до коммутации, т. е. в момент /=0_, он был равен нулю, то.

откуда.

Подставив это значение А в (2.5), получим закон нарастания тока в цепи (рис. 2.1, а, б):

где г = L/R имеет размерность времени (Гн/Ом = с) и называется постоянной времени цепи по рис. 2.1, а.

Постоянная времени определяет скорость нарастания тока и равна времени, за которое ток / достиг бы установившегося значения i = E/R, если бы скорость его изменения оставалась неизменной и равной начальному значению скорости di/dt_lm0t=E/L.

Переходный процесс часто можно считать практически закончившимся через интервал времени 3 г с момента коммутации, когда ток достигнет значения /(Зг) = 0,95E/R .

Так как зависимость тока от времени найдена (2.6), то нетрудно определить и зависимости от времени напряжений на резистивном и индуктивном элементах (рис. 2.1, б):

При 0 < / < т скорость изменения тока в цепи можно считать приближенно постоянной и равной = у. Следовательно, в этом интервале времени приближенно напряжение на резистивном элементе равно.

т.е. пропорционально интегралу напряжения источника ЭДС Е. Такую цепь принято называть интегрирующей цепью.

При действии на входе цепи источника изменяющейся ЭДС е может оказаться, что в некоторые интервалы времени переходного процесса u_R «и,. Для этих интервалов времени ток в цепи i^e/R, а напряжение на индуктивном элементе и, = Ldi/dt— приближенно пропорционально скорости изменения напряжения источника ЭДС е. Имея это в виду, эту цепь называют дифференциальной цепью.