Одноканальные системы общего вида

Обсудим теперь задачу синтеза для объектов управления произвольного порядка, которые описываются нелинейным нестационарным дифференциальным уравнением.

dY

Предполагается, что дрейф экстремума медленный, т. е. ~ 0. В этом случае градиент определяется соотношением.

Сформируем снова пропорциональный градиенту закон управления.

и исследуем поведение замкнутой системы.

Обеспечить устойчивость замкнутой системы можно соответствующим выбором коэффициента усиления k. Так как система (11.28) нелинейная, для анализа устойчивости можно использовать второй метод Ляпунова, на основе которого определяется коэффициент k. Поскольку второй метод Ляпунова дает лишь достаточное условие устойчивости, выбранная функция Ляпунова может оказаться неудачной, поэтому регулярную процедуру расчета регулятора здесь предложить нельзя.

Градиентные системы, основанные на методе локализации

Данный способ синтеза экстремальной системы предполагает использование в законе управления действительной и желаемой старшей производной выходной переменной динамической части системы аналогично способу управления нелинейными нестационарными объектами (см. гл. 10).

Рассмотрим возможности метода применительно к объекту управления (11.27), описание которого представим в переменных состояния:

Здесь предполагаем, что функция g (x) допускает многократное дифференцирование, а дрейф экстремума достаточно медленный.

Цель управления заключается в определении такого управляющего воздействия и = и (-)_у которое обеспечивает выполнение условия (11.7) с заданной точностью |Д°| < А⁰,.

Наряду с условием статики предъявляются требования и к динамике, т. е. к характеру переходных процессов, в виде оценок t_n < t* и ст < ст*.

Для формирования алгоритма управления необходимо предварительно определить производную выходных переменных динамической части объекта, которая непосредственно зависит от управления. При этом обозначим.

_г г ^дё

через С вектор-строку производных С =.

Исследуем ситуацию, когда СВ () ?= 0.

В этом случае от управляющего воздействия явно будет зависеть первая производная выходных переменных динамической части объекта:

поэтому требования к поведению замкнутой системы следует формировать относительно нее в виде желаемого дифференциального уравнения.

где, а — коэффициент, который выбирается из условия требуемого времени выхода на экстремум. Причем для большого класса объектов типа (11.29) желаемое дифференциальное уравнение можно конструировать в классе линейных уравнений, формируя определенное распределение корней аналогично модальному методу синтеза.

В статике желаемое уравнение (11.31) вырождается в условие G (y) = 0, что соответствует точке экстремума.

Сформируем закон управления на основе метода локализации в виде где к — коэффициент усиления регулятора.

Использование у в алгоритме управления (11.32) позволяет парировать влияние динамической части объекта и действующих на него возмущений, а наличие градиента — организовать движение к точке экстремума, соответствующей точке равновесия замкнутой системы.

Подставив выражение (11.32) в уравнение (11.30), получим уравнение динамики для выходной переменной замкнутой системы.

которое преобразуется к виду.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

При условии что (1 + СВк) * 0, получим уравнение замкнутой системы.

Начиная с некоторых значений коэффициента k выполняется условие CBk^S> 1, и уравнение (11.33), при условии что {СВк) * 0, вырождается в следующее:

Первым слагаемым в уравнении (11.34) при k —" °о можно пренебречь п записать его в виде.

Таким образом, соответствующий выбор коэффициента усиления регулятора позволяет с заданной точностью обеспечить в замкнутой системе желаемую динамику выхода на экстремум. Параметры регулятора выбираются из соотношения.

В этом случае ошибка поддержания в системе желаемого уравнения не будет превышать (1-^5)%. Структурная схема системы приведена на рис. 11.16.

Рис. 11.16. Расчетная схема системы со старшей производной в управлении В реальной системе для оценки полной производной по времени используется дифференцирующий фильтр, поэтому оценивать градиент удобно с помощью специального фильтра, который будем называть фильтром оценки частной производной.

Следует отметить, что использование в системе фильтров с малыми инерционностями может приводить к возникновению в ней разнотемповых процессов, для исследования свойств которых необходимо применять метод разделения движений (см. параграф 9.4). Эти процессы будут различными в зависимости от соотношения постоянных времени р, и р₂. При соизмеримых инерционностях фильтров в замкнутой системе возникают два вида движений: быстрые и медленные, причем медленные движения соответствует системе с точным законом управления.

Если постоянные времени фильтров различаются на порядок и более, то в системе возникают три вида движений: сверхбыстрые, быстрые и медленные. Сверхбыстрые движения определяются наименьшей постоянной времени фильтров, быстрые движения обусловлены вторым фильтром, а медленные движения, как и в первом случае, являются рабочими и соответствуют системе с точным законом управления.

Пример 11.2. Рассчитать систему поиска экстремума для объекта управления, поведение которого описывают уравнения.

где Т₀ = 2 с; 1 < k₀(t) < 5; а = 2, у (0) = 1. Необходимо обеспечить выход на экстремум за время t_n ~ 5 с.

Решение

На основании требований к динамике процесса определим желаемый полюс замкнутой системы (А* = -1) и сформируем желаемое уравнение того же порядка, что и уравнение объекта: у = -у или у = -aG, где, а = 0,25. Коэффициент усиления регулятора к выбираем из условия CB_mink = 20. В данном случае С = 1; kJt)

B (t) = 0,5 < B (t) < 2,5. Следовательно, к = 40.

Л>

Для оценки производных используем дифференцирующий фильтр первого порядка (см. гл. 10) с постоянной времени р, = 0,01 с и фильтр оценки частной производной (см. подпараграф 11.6.5) с постоянной времени р₂ = 0,1 с.

На рис. 11.17 и 11.18 отображены переходные процессы в системе и изменение градиента при согласованных параметрах дифференцирующего фильтра и фильтра оценки частной производной соответственно.

Рис. 11.17. Переходные процессы Рис. 11.18. Изменение градиента в замкнутой системе в системе На рис. 11.19 представлена схема замкнутой системы, на основе которой проводилось ее моделирование.

Здесь ДЧ — динамическая часть объекта; ЭХ — экстремальная характеристика; ДФ — дифференцирующий фильтр; ФОЧП — фильтр оценки частной производной. Блок «mod» реализует операцию получения модуля оценки производной у, а блок «sign» — ее знака. Эти блоки введены для обеспечения устойчивости замкнутой системы.

Рис. 11.19. Структурная схема системы к примеру 11.2.