Система со сложной структурой

Системы с последовательно-параллельной структурой после соответствующих преобразований можно представить как совокупность схем только с последовательным или только с параллельным соединением элементов. Однако в ряде случаев структуру системы невозможно представить как чисто последовательную или чисто параллельную. Для таких систем отказ любого из элементов может привести к ухудшению надежности или отказу всей системы.

• Метод прямого перебора. Система, состоящая из п элементов, каждый из которых может находиться только в двух состояниях — работоспособности и отказа — имеет N = 2^п различных состояний. Это: Щ — все п элементов работоспособны; Я, — отказал /-й элемент, остальные работоспособны; Яу — отказали /-й и у-й элементы, остальные работоспособны; H i _{м п}— отказали все элементы.

Если определен критерий отказа системы, то все множество состояний можно разделить на два подмножества: подмножество состояний работоспособности {А} и подмножество состояний отказа (5). Тогда, если для каждого состояния Я_с вычислить вероятность его появления Р_а, то вероятность состояния рабо;

тоспособности системы в целом запишется как.

Если система состоит из взаимно независимых элементов, то вероятности соответствующих состояний вычисляются по формулам:

где.

Pi, qi — вероятности состояния работоспособности и неработоспособности /-го элемента системы;

Гг = Я,!Pi •.

На практике решить задачу прямым перебором можно лишь в редких случаях, для относительно простых схем. Простейшей структурой такого вида является так называемая мостиковая схема, все элементы которой идентичны, а ВБР элементов равны />/, /= 1, 2, 3, 4, 5 (рис. 9.8). (Простейшее решение для такой системы было рассмотрено в разделе 7). Ее работоспособные состояния представлены табл. 9.6. В этом случае ВБР определится как.

Рис. 9.8. Мостиковая схема

Таблица 9.6.

При достаточно высокой надежности элементов системы возможно использование упрощенной формулы

• Метод разложения относительно особого элемента. Для той же мостиковой схемы (см. рис. 9.8) выберем в качестве особого элемент ху При хз = 1 считается, что элемент хз абсолютно надежен. Тогда мостиковая схема превращается в структуру раздельного резервирования с параллельно-последовательным соединением элементов (рис. 9.9).

Рис. 9.9. Представление мостиковой схемы параасльно-последовательным соединением для ыучая достоверно исправного диагошиьного элемента.

Ее ВБР определяется как.

При хз = 0 элемент хз постоянно находится в состоянии отказа, а мостиковая схема имеет структуру общего резервирования с последовательно-параллельным соединением элементов (рис. 9.10).

Ее ВБР определяется как.

Рис. 9.10. Представление мостиковой схемы последовательно-пара.исльным соединением для случая достоверно отказавшего диагонального элемента.

По формуле полной вероятности При идентичных элементах:

• Метод минимальных путей и минимальных сечений. Введем основные понятия метода. Минимальный путь — минимальный набор работоспособных элементов, исключение любого из которых (отказ) переводит систему из состояния ра;

ботоспособности в состояние отказа. Минимальное сечение — минимальный набор отказавших элементов, восстановление любого из которых переводит систему из состояния отказа в работоспособное состояние.

Верхняя оценка ВБР определяется как ВБР параллельного соединения минимальных путей. Верхняя оценка вероятности отказа системы определяется как вероятность отказа последовательного соединения минимальных сечений. Отсюда получаются двусторонние оценки вероятности безотказной работы.

Найдем для мостиковой схемы (рис. 9.8) минимальные пути A_t и соответствующие им вероятности Р (Ад, ^а затем минимальные сечения 5, и соответствующие им вероятности (табл. 9.7).

Таблица 9.7.

В соответствии с неравенствами (9.8) нижняя и верхняя оценки ВБР:

При элементах с равной надежностью:

• Приближенный метод преобразования треугольника в звезду и обратно. В качестве ПН используются вероятности отказов элементов. Зависимости между вероятностями отказов при преобразованиях определяются исходя из предположения, что характеристики надежности цепей, соединяющих одноименные точки в различных схемах, равны между собой (точки 7, 2, 3 рис. 9.11).

Рис. 9.11. Преобразования треугольника в звезду и обратно

Считая, что вероятности отказов малы и пренебрегая вероятностями совпадения отказов двух и трех элементов, приближенные выражения для пересчета вероятностей отказов элементов приобретают следующий вид:

Пример- В схеме рис. 9.8 все элементы идентичны и ВБР p (t) = e~^Xl с параметром X = 0,01 год*¹. Найти ВБР этой схемы в течение 10 лет ее эксплуатации всеми рассмотренными выше методами.

Решение. При / = 10 имеем: р = р (10) = е~⁰⁰¹¹⁰ =0,9 и q = 1 — р = 0,1.

1. Методом перебора ВБР вычисляется с использованием (9.5):

2. То же по упрошенной формуле (9.6):

3. Методом разложения относительно особого элемента по (9.7) получим:

4. Методом минимальных путей и минимальных сечений по (9.9) находим верхнюю и нижнюю оценки ВБР:

Заметим, что значения ВБР, полученные методом перебора и методом разложения относительно особого элемента, лежат внутри интервала, полученного методом минимальных путей и минимальных сечений.

5. Преобразуем треугольник рис. 9.8 с элементами 1, 2, 3 в звезду с элементами 6, 7, 8. В результате преобразований схема приобретает вид, представленный на рис. 9.12.

Рис. 9.12. Результат преобразований мостиковой схемы (рис. 9.8)

Согласно (9.10) вероятности отказа и ВБР элементов этой звезды: Яь = Яз = Я*? Я² «(1 — р)² = (1 — 0,9)² = 0,01; р₆ = р₁ = р₆ = 0,99. По формулам последовательно-параллельного соединения элементов, ВБР системы:

Р_с • p_t [1 — (1 — р, р,) (1 — p_tp_A)] = 0,99 [l — (1 — 0,9 • 0,99)²] = 0,9782. Сравнение показьшает, что ПН достаточно близки.