Н. 3. Минимизация энергии электрического поля

Электрическое поле в общем случае в трехмерной однородной и изотропной области G в объеме V с внесенными в эту область объемными зарядами р обладает энергией

Первое слагаемое — энергия поля в той части объема У. которая не занята объемными зарядами Второе слагаемое обусловлено работой источников поля на перенос зарядов р из точек с нулевым потенциалом в рассматриваемые точки поля с потенциалом ф. Если учесть, что.

то.

Энергию W_y можно рассматривать как некоторый функционал. Чтобы он принимал минимальное значение, его подынтегральная функция/должна в соответствии с методом Ритца удовлетворять уравнению Но.

Подставим частные производные/ в уравнение (Н.23). Получим уравнение.

Таким образом, определение ф, исходя из минимизации функционала W_y (Н.22), эквивалентно решению уравнения (Н.24) для области G при заданных граничных условиях для ф.

Н.4. Вывод основных формул метода.

В соответствии с уравнением (Н.20) внутри каждого (конечного) е-элемента (е — номер подобласти, а не показатель степени) имеем.

У текущего е-элемекта номера узлов входят в интервал 1…К. Поэтому.

Энергия поля в объеме V для однородного и изотропного диэлектрика Здесь

Интеграл в (Н.28) представим в виде суммы интегралов по всем е-элементам.

(1…М):

Имея в виду (Н.26) и (Н.29), а также то, что у текущего е-элемепта номера углов вписываются в интервал от 1 до К, получаем:

где Заметим, что.

Запишем выражение для энергии, запасенной в одном е-элементе с учетом формул (Н.32) и (Н.34):

Из (Н.35) следует, что F* является функцией [ф]. Для того чтобы минимизировать F*, надо приравнять нулю производную dF*!д[ч>). Так как [^*']Б_в = является симметричной матрицей (у которой а_ч то по правилам матричного дифферен цирования (см., например, [16]) имеем.

Таким образом, условие dF* /д[<�р) для одного е-элемента приводит к уравнению а для всех М конечных элементов получим совокупность уравнений

Выражение ^(АГ'Цф] называют глобальной магрицей системы, a ^p[N^e]^J dV —.

г-1 е = I.

глобальным веюором внешних воздействий После интегрирования и суммирования (Н.39) будет представлять систему алгебраических уравнений относительно потенциалов всех К узлов. Если поле двухмерное, то, принимая размер поля в направлении одной из координат единичным, объемные интегралы заменяют на интегралы по площади и тогда.

Если диэлектрик анизотропный, то его е, — тензор ё, = i е,_х + J е_лу + к е_а. Компоненты тензора е_ах, е_лу, е_а. могут быть функциями координат .г, у, z. В этом случае оси координат располагают по направлению главных осей анизотропий и для трехмерного случая.

Основные расчетные формулы (Н.39) и (Н.40) справедливы и в этом случае, но в (Н.40) е, (1) следует заменить на.

Метод справедлив и для магнитных изотропных и анизотропных сред. В этом случае роль ф выполняет магнитный потенциал А, роль р—плотность тока проводимости 6. Если 5 = 7 6_Х, А = 1 Л_х, А, = 7р_ах+у у1_лу+к р_аг, то для трехмерного случая, расположив оси х, у, z параллельно главным осям анизотропии, имеем.

В формуле, аналогичной (H.4I), произведение е_а [1] следует заменить на.

Рис. Н.2.