Бортовая качка судна на регулярном волнении

Примем, что судно, поперечные размеры которого (ширина В и осадка Т) бесконечно малы по сравнению с длиной волны X, не имеет хода и расположено лагом к волне. Очевидно, что при данных допущениях оно будет вести себя как частица жидкости, участвующая в орбитальном движении. В соответствии с выводами гидромеханики, равнодействующая сил давления (сил плавучести) будет направлена по так называемой динамической вертикали — нормальной к свободной поверхности воды в данном месте. За счет влияния центробежных сил по этой же вертикали будет действовать и сила тяжести судна. Тогда, как следует из рис. 5.5, восстанавливающий момент запишется.

Рис. 5.5. Восстанавливающий момент при бортовой качке на волнении.

где, а — угол волнового склона в данный момент времени в месте расположения качающегося судна.

Выражение (5.34) состоит из двух частей. Первая из них GhQ — суть восстанавливающий момент на тихой воде, вторая Gha — возмущающий момент, изменяющийся во времени по гармоническому закону с частотой, равной частоте рассматриваемого регулярного волнения [см. (5.29)]. Если учесть конечность размеров судна с помощью специального поправочного (редукционного) коэффициента Хъ — 1″ ^т° уравнение (5.4) бортовой качки на регулярном волнении запишется в виде.

где = а₀ X_e^sin ~ угол эффективного волнового склона, a ot^₀⁼ — а₀ Хв — его амплитудное значение.

Общий интеграл неоднородного уравнения (5.35) можно представить в виде суммы общего решения дифференциального уравнения без правой части и частного решения:

Первый член правой части выражения (5.36) — суть уравнение затухающих колебаний [см. (5.15)], которые, как было показано выше, за счет демпфирования достаточно быстро исчезнут.

Таким образом, через некоторое время останутся только вынужденные колебания.

которые будут происходить с частотой о волнения и с отставанием по фазе по отношению к возмущающему моменту (волновому профилю).

Амплитуда вынужденных колебаний при этом составит.

а сдвиг по фазе.

Из (5.38) и (5.39) следует, что и амплитуда бортовой качки, и сдвиг по фазе являются функциями частоты волнения.

Отношение амплитуд качки и углов волнового склона носит название коэффициентадинамичности и записывается в виде

где, а = а/я_в — относительная частота качки — соотношение частот собственных и вынужденных колебаний.

Выражение (5.40) называют и амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) бортовой качки, поскольку оно определяет амплитуды вынужденной качки в функции от частоты возмущающего момента (регулярного волнения).

Проследим за характером изменения АЧХ. Когда а->0, судно качается в согласии с волной к_л — 1,0_в — a^₀, его колебания не отстают от волнения — сдвиг по фазе 6−0 [см. (5.39)]. Такое положение возможно либо при а—>0, либо при Первый случай соответствует очень длинным волнам, второй — судну с бесконечной начальной остойчивостью h->оо [см. (5.7)], прообразом которого является плот.

Если о—о, то коэффициент динамичности &_д-«0, 0_в-«О, следовательно, качка будет отсутствовать. Это произойдет либо когда ст—"оо и очень короткие волны малой амплитуды не обладают достаточной энергией, чтобы раскачать судно, либо при п_%—>0, т. е. когда начальная метацентрическая высота Л—>0 и восстанавливающий момент отсутствует. Очевидно, что последний вариант не приемлем с точки зрения остойчивости.

Взяв производную от (5.40) по а, определим положение максимума АЧХ, которое соответствует относительной частоте волнения, равной.

Таким образом, максимум АЧХ несколько сдвинут влево от резонанса (я₀ * а, а=1), а его величина составляет.

Сдвиг, но фазе в этом случае (а = я_в) достигает [см. (5.39)] величины 5 — я/2, т. е. колебания судна отстают от возмущающего момента на 90°.

Если сопротивление качке отсутствует, то из (5.41) и имеем.

Рис. 5.6. Амплитудно-частотные характеристики.

т. е. приходим к известному из теоретической механики выводу о неограниченном возрастании амплитуд колебаний идеального математического маятника в условиях резонанса.

На рис. 5.6 представлены АЧХ судов, имеющих различные коэффициенты демпфирования бортовой качки. Даже весьма умеренное сопротивление (я_е — 0,05) приводит к резкому снижению резонансных амплитуд. Тем не менее у судов эти амплитуды могут достигать весьма ощутимых величин в зоне резонанса.

В силу однотипности уравнений основных видов качки (5.3)—.

(5.5) все качественные выводы, полученные выше относительно бортовой качки на регулярном волнении, могут быть распространены и на килевую и на вертикальную качку. Отличия непринципиального свойства будут иметь место в значениях редукционных коэффициентов и безразмерных коэффициентов демпфирования.

При отсутствии хода для каждого вида качки в принципе существует резонансное волнение, вызывающее максимальные амплитуды соответствующих колебаний. Зная периоды собственных колебаний, без труда можно найти параметры резонансного волнения, положив Т_{ — т (см. пример 5.2).

Пример 5.2. Для судна «Инженер» найдем характеристики резонансных волн для бортовой и килевой качки. Ранее (см. примеры 2.8 и 5.1) имели Т₀ «20,4 с; Т? 7,81 с. Полагая Г — т, с использованием (5.24) находим для бортовой качки.

для килевой качки.

Зыбь (регулярное волнение) с длиной волн X «650 м маловероятна, поэтому резонансная бортовая качка судну без хода, по-видимому, не угрожает. Килевая качка при X — 95 м тоже не представляет большой опасности — при таком соотношении длины волны и судна (X/L — (95/173) * 0,55) редукционный коэффициент будет близок к нулю.

Эти выводы справедливы и для других достаточно крупных морских судов (I > 100 м).