Язык логики предикатов

• 1. Исходные символы языка:
  • а) х, у, z, …, а также с числовыми индексами (x₁, x₂, …, x_n) — предметные переменные.
  • б) a, b, с, …, а также a₁, a₂, …, а_п — предметные константы (аналоги собственных имен естественного языка);
  • в) Р¹, Q¹, R¹, … (возможны эти символы с нижними индексами — P₁, Р₂, Р₃, …) — предикатные символы, или предикаторы (знаки свойств или отношений различных местностей);
  • г) f¹, f², f³, …, f₁, f₂, …, f_n — предметно-функциональные символы;
  • д) логические константы (союзы):
    • — • ,?, & - конъюнкция (союз «и»),
    • — U — дизъюнкция (союз «или», «либо»),
    • — U — строгая дизъюнкция (союз «либо»),
    • — > - импликация (союз «если…, то…»); материальная импликация (),
    • — -, ? — эквиваленция (союз «если и только если…, то…»),
    • — - отрицание («неверно, что…», «не»),
    • — кванторы: общности — «; существования — $;
  • е) (,) — технические знаки (скобки, запятые и пр.);
  • ж) ничто, кроме перечисленного в пунктах а-е, не является символом языка логики предикатов.
• 2. Термы. Выражения этого типа являются аналогами имен естественного языка:
  • а) любая предметная константа и предметная переменная есть терм;
  • б) если fⁿ — п — местный предметно-функциональный символ и t₁, t₂, …, tⁿ — термы, то fⁿ (t₁, t₂, …, t_n) есть терм;
  • в) ничто, кроме указанного в пунктах, а и б, не является термом.
• 3. Формулы. В число этих выражений входят аналоги повествовательных предложений естественного языка, а также высказывательные формы — предикаты, представляющие собой особую семантическую категорию, которая не выделяется явным образом в естественном языке:
  • а) если Рп — п — местный предикат и t₁, t₂,…, t_n — термы, то Pn (t₁, t₂, …, t_n) есть формула;
  • б) если А и В — формулы, то (А&В), (A U В), (AEВ), А — формулы;
  • в) если А — формула и х — предметная переменная, то _x А (х) и _xА (х) — формулы;
  • г) ничто, кроме указанного в пунктах а-в, не является формулой.

Рассмотрим на примерах, каким образом осуществляется перевод высказываний естественного языка на язык логики предикатов.

1. Простые высказывания, в которых утверждается наличие свойств у отдельного предмета, записывается в виде формулы: П¹(t), где t — терм, соответствующий имени предиката, а П¹ — одноместная, предикаторная константа, соответствующая знаку свойства.

Например, высказывание: «Москва — столица Российской Федерации» в языке логики предикатов примет вид формулы Р (а), где а — предметная константа, обозначающая имя «Москва», а Р — предикатный символ, обозначающий «быть столицей Российской Федерации» .

Высказывание «Мать Назарова — экономист» может быть записан как Р (f (а)), если одноместному функтору «мать» сопоставить одноместную предметно-функциональную константу f, а свойство «быть экономистом» обозначить Р.

2. Высказывания, в которых присутствует отрицание свойства у отдельного предмета, на языке логики предикатов записывается посредством формулы.

П¹(t).

Например, «Париж не является столицей России» :

Р (f (а)).

3. Высказывания, в которых утверждается наличие отношения между двумя предметами, записывается так:

П²(t₁, t₂).

Например, «Москва больше Санкт-Петербурга» имеет вид.

R (a, b),.

где R — предикатор «больше»; а — Москва; b — Санкт-Петербург.

Соответственно, если аналогичное высказывание содержит отрицание, то оно принимает вид.

R (a, b).

Если высказывание содержит трехместные предикатные константы, например, " ? любит Москву больше, чем Санкт-Петербург" :

R₁ (a, b, с).

где R₁ — «любит больше чем», а — " N", b — «Москва», с — «Санкт- Петербург» .

4. Высказывание, содержащее кванторы, переводится на язык логики предикатов следующим образом.

На первом месте в формуле записывается кванторное слово, затем — предметная переменная, к которой относится квантор, и только после этого записывается предикаторная константа. Например, «Некоторые студенты являются экономистами». Этому высказыванию соответствует формула.

$_xQ (x),.

где Q (x) — экономист.

Или «Некоторые студенты не являются экономистами», так как данное высказывание содержит отрицание, то формула будет выглядеть следующим образом:

$_xQ (x).

Если высказывание содержит двух-, трехместный и т. д. предикатор, то формула строится с учетом местности предикатора.