Обработка результатов машинного эксперимента при синтезе систем

При синтезе системы? на базе машинной модели М_и задача поиска оптимального варианта системы при выбранном критерии оценки эффективности и заданных ограничениях решается путем анализа характеристик процесса функционирования различных вариантов системы, их сравнительной оценки и выбора наилучшего варианта. Независимо от того, как организуется выбор наилучшего варианта системы — простым перебором всех проанализированных при машинных экспериментах результатов или с помощью специальных процедур поиска оптимального варианта, например, методов математического программирования, элементарной операцией является сравнение статистически усредненных критериев оценки эффективности вариантов систем [9, 29, 33, 53].

Особенности машинного синтеза. Учитывая то обстоятельство, что конкурирующие варианты системы Я отличаются друг от друга структурой, алгоритмами поведения, параметрами, число таких вариантов достаточно велико. Поэтому при синтезе оптимального варианта системы 5^ особенно важно минимизировать затраты ресурсов на получение в результате моделирования характеристик каждого варианта системы. Исходя из этих особенностей, при синтезе системы 5 обработку и анализ результатов моделирования каждого варианта системы 5 следует рассматривать не автономно, а в их тесной взаимосвязи. Очевидно, что задача синтеза оптимального варианта моделируемой системы 5_ор1 должна быть уже поставлена при планировании машинного эксперимента с моделью М_м.

В предыдущей главе было показано, что искусственная организация статистической зависимости между выходными характеристиками сравниваемых вариантов 5₁ и 5₂ системы дает выигрыш в точности оценки средних значений, вероятностей и дисперсий при положительно коррелированных критериях q_l и q₁. Корреляция между критериями q_l и q₂ возникает в силу того, что случайные векторы.

описывающие воздействие внешней среды Е на варианты и 5₂ системы, имеют общие составляющие ь =(«., VI'), в то время как составляющие.

Статистически независимы Если через обозначить фиксированные значения

составляющих.

то условные средние значения q_l и д₂

будут такими:

т. е. являются функциями переменных V =(ь₁, …" «*).

Рассмотрим особенности обработки результатов моделирования, когда сравниваемые в ходе проведения имитационных экспериментов полные средние значения критериев и д₂ примут вид.

где.

— совместная плотность вероятностей, составляющих V*.

Ковариация.

Достаточным условием неотрицательности ковариации, дающим выигрыш в оценке разности средних, является одинаковая упорядоченность условных средних ц₁(о)_> ц₂(и) относительно векторного аргумента? = («₁,…» V₂), т. е. выполнение неравенства.

для любых значений векторных аргументов.

Действительно, учитывая, что.

находим.

Так как /(«)^0 для всех V, то при выполнении (7.1) имеем В₁₂^0, что и требовалось доказать.

Когда в качестве результатов моделирования выступают вероятности событий Л₁₉ А₂ для вариантов и 5₂ системы, то условные значения.

где Р (А₁/ь) — условная вероятность, 1=1,2.

Тогда достаточное условие не отрицательности ковариации запишется в виде.

что соответствует одинаковой упорядоченности условных вероятностей Р (А₁/ь) и Р (А^) относительно векторного аргумента и.

Одинаково упорядоченными являются монотонно возрастающие или монотонно убывающие функции /^ («) и ц₂ (ь) скалярного аргумента V, а также одинаковые функции ц_х («)=^₂(®) независимо от их монотонности. Пример одинаково упорядоченных возрастающих (а) и убывающих (б) функций ц (ь) показан на рис. 7.3.

Если положительные функции М/(?), У=1, л, одинаково упорядочены, то произведение любой комбинации этих функций /**(?) 1ь (у)…р_т(р) одинаково упорядочено с произведением любой комбинации щ (р) Это же можно сказать и об условных вероятностях Р (4//®)>7⁼ 1, п.

Пример 7.4. Пусть методом статистического моделирования на ЭВМ необходимо сравнить результаты моделирования двух вариантов 5, и ?₂ системы, составленных из одинаковых блоков В_х —В₄ (структура системы показана на рис. 7.4) и сравниваемых по критерию надежности с учетом случайных изменений внешней температуры.

События Л_х и А ₂ соответствуют безотказной работе вариантов 5, и системы в течение заданного времени Т.

Рис. 7.3. Пример одинаково упорядоченных функций.

Рис. 7.4. Структуры сравниваемых вариантов систем 5, и 5₂

Вероятность безотказной работы Ву при заданной температуре V—V можно определить, как.

где Х{ (у) — интенсивности отказов, являющиеся возрастающими функциями температуры.

Таким образом, функции Р (В^у) являются одинаково упорядоченными убывающими функциями. Можно показать, что функции Р (Л,/у) = {1 — (1 —Р^/уДЦ — -*Ч*а/У)" {1 Ч1-*(*к/у)1[1 — Р (А₂/у)ш1-[-Р (В₁Мх Р (В^у)][1 ;

—P (B₂|v)P{BJv) также одинаково упорядочены и убывают с ростом температуры у. Поэтому, используя при машинном эксперименте с вариантами 5, и 5₂ системы одни и те же реализации V случайной температуры у, получим в результате моделирования большую точность сравнения вероятностей Р (А^) в Р (А₂), чем при раздельном моделировании 5] и 5₂ системы с использованием независимых реализаций V.

Рассмотренный пример можно обобщить и на случай векторного аргумента, например, дм набора таких переменных, как температура, давление, ускорение и т. п.

Когда независимые компоненты в воздействиях внешней среды Е отсутствуют, т. е. V₁ =у₃ = у, условные средние ц₁ (у)•" А/^/у], ц₂(у)" А/[?₂/у] преобразуются в детерминированные зависимости критериев от случайных воздействий <7₁ *^я/₁ (у),.

?2-Л (У)•.

При этом условия одинаковой упорядоченности становятся еще более жесткими. Так, например, условия (7.2) выполняются лишь тогда, когда для всех значений исключено одно из состоянии: А_ХА₂ или А_ХА₂. Другими словами, положительная корреляция В₁₂ и связанные с ней преимущества гарантируются лишь тогда, когда вариант системы 5, равномерно лучше (хуже) варианта В принятых в § 6.3 обозначениях это соответствует р_с=0 или р_о="0.

Состояния С**А_}А₂ или В=А_ХА₂ вариантов систем 5'₁ и 5₂ возможны лишь при наличии двух неисправных блоков ?" /~1, 4, состояние А—А_ХА₂ возможно при отсутствии неисправностей или при одной неисправности, а состояние В—А^Л₂ — при трех или четырех неисправностях. Обозначив через В^ ситуацию с неисправностями блоков В/ в В., находим соответствие между состояниями.

и убеждаемся в отсутствии состояния О.

Следует помнить, что условия одинаковой упорядоченности (7.1) и (7.2) являются достаточными, но не необходимыми и достаточными условиями не отрицательности корреляции. Поэтому, обнаружив в конкретной схеме проведения имитационного эксперимента нарушение этих условий при некоторых реализациях входных воздействий ь у следует более детально рассмотреть процедуру сравнения средних значений или вероятностей. Например, при сравнении вероятностей, задаваясь значениями Ар=р₁— р₂, р_А и необходимо рассчитать значения р₂ =р_А +р_й, Р =Рг + Ар, Рс=Ро+ &Р ^и вычислить коэффициенты корреляции и «выигрыша» соответственно:

где ЛГ. иЛ, — объемы выборки, необходимые для получения заданной точности оценки Ар при использовании независимых и зависимых реализаций.

Таким образом, использование зависимых испытаний дает возможность значительно сократить затраты машинного времени на моделирование. Рассмотренная методика сравнения характеристик вариантов при синтезе системы с учетом их корреляции является формальной. Однако основа для получения с помощью этой методики практических преимуществ — неформальная операция выбора такой схемы имитации, при которой искусственно создавалась бы требуемая корреляция.

Оценка результатов моделирования системы. Рассмотрим возможность оценки при обработке результатов моделирования абсолютных значений характеристик процесса функционирования системы 5. Пусть исследование одного из вариантов системы, например $₂, выполнено аналитическим методом и определено среднее значение р₂ критерия q_г. Тогда оценка р[ = р₂ — 3среднего значения р. имеет дисперсию.

где — коэффициент выигрыша, получаемого при оценке разности средних значений й= р₂ — р_х ^{за счет} зависимости испытаний; а=/)[/2₂]//)[Д₁]. Оценка Д1 точнее Д₂, если (1 + а)/у"<1.

Однако затраты машинного времени для получения оценки Д1, которые обозначим как г₁₂, превышают при заданном N затраты машинного времени /_1э необходимого для автономной оценки р_х. Поэтому при заданной точности оценки среднего р_х оценка Д1 дает выигрыш по затратам машинного времени на имитацию только в том случае, если (1+сс)/₁₂/(УЛ)< 1.

Для нормально распределенных критериев ^ и ц₂ оценка дисперсии ?1 = /)₂ + ДД Выигрыш в затратах машинного времени на имитационное моделирование по сравнению с автономной оценкой б_х будет лишь при условии (1 -Ьа)//₁₂/у_Х)/₁)< 1, где у_в — коэффициент выигрыша, получаемого при оценке разности дисперсий АВ за счет зависимых испытаний.

Рассмотренные методы сравнения вариантов 5₁ и 5₂ моделируемой системы можно использовать в алгоритмах оптимизации на этапе проектирования системы 5, т. е. при се синтезе, по результатам имитационного эксперимента с ее машинной моделью М_м.

При синтезе системы 5 на основе проведения машинных экспериментов с моделью М_м возникает задача анализа чувствительности модели к вариациям ее параметров. Под анализом чувствительности машинной модели М_м понимают проверку устойчивости результатов моделирования, т. е. характеристик процесса функционирования системы 5, полученных при проведении имитационного эксперимента, по отношению к возможным отклонениям параметров машинной модели ЛА=(ЛЛ₁, …" ДЛ") от истинных их значений Л = (Л_4>…" Л_я) [29, 33, 53].

Анализ чувствительности позволяет сравнивать методические погрешности, полученные при построении машинной модели М_ш с неточностями задания исходных данных, что особенно важно при практической реализации для целей синтеза системы 5.

Малым отклонениям АЛ будут соответствовать изменения характеристик я (Я), которые в практических расчетах можно оценить величиной А^ = ^'(Л)АЛ +г₀, где ^'(Л)=(^(Л)/5Л₁, …" дд (Л)/0Л_я);

г₀ — остаточный член второго порядка малости относительно вариации, который используется для проверки точности решения.

Частная производная я'(Л) определяется в точках, соответствующих номинальным значениям параметров Л во*. Если И_тзм=к*> где Л * — оптимальные параметры системы по показателю? (Л), то ?'(Лжш) = 0 и необходимо проводить оценку с использованием второй производной Таким образом, частные производные ?'(Л), Я*(Ь) количественно характеризуют чувствительность машинной модели М_м к изменениям ее параметров.

Большие отклонения характеристик я (Л) при малых вариациях АЛ свидетельствуют о неустойчивости модели М_м по отношению к этим вариациям. Для получения оценок ?(Л) показателя я (к) удобно рассматривать зависимые реализации внешних воздействий при различных Л и проводить соответствующую обработку результатов машинного эксперимента с моделью Л/_м.

Чувствительность можно оценить и на более простой модели, чем модель для определения характеристик процесса функционирования системы 5. Кроме того, универсальные оценки производных Я'(И) и ?" (Л), выполняемые при моделировании по зависимым испытаниям, в ряде частных случаев можно заменить более удобными непосредственными вычислениями.

Таким образом, результаты машинного эксперимента с моделью М_ы обрабатываются с учетом целей моделирования системы 5, которые находятся в тесной связи с вопросами, решаемыми при планировании экспериментов. При синтезе системы 5 на базе ее машинной модели Л/_м необходимо принять меры по организации зависимых испытаний анализируемых вариантов системы и оценке чувствительности модели к вариации ее параметров, что позволит упростить работу с моделью на каждом шаге оптимизации.