Пример прогнозирования материалопотока и товарооборота с регионального склада

Для прогнозирования товарооборота и материалопотока регионального склада необходимо подобрать наиболее подходящее из известных математических уравнений (прямую, гиперболу, параболу и т. д.). Эти уравнения определяются на основании графиков, которые строятся по отчетным данным (динамическим рядам). Рассмотрим эти уравнения.

1. Уравнение прямой имеет следующий вид:

(2.9).

где  — результативный признак; х — период времени; а и b; - параметры прямой.

Нахождение параметров а и b производится на основе выравнивания по способу наименьших квадратов, который приводит к системе двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

(2.10).

Решая это уравнение, находим:

(2.11).

Для облегчения нахождения параметров а и b систему можно упростить. Для этого отсчет времени следует вести так, чтобы сумма показателей времени ряда () была равна нулю. Такая условность вполне допустима ввиду того, что начало выбирается произвольно.

Чтобы равнялась нулю, в рядах с нечетным числом членов центральный член принимается за нуль, а члены, идущие от центра (в столбце) вверх, получают номера -1, -2, -3 (со знаком минус), а вниз +1, +2, +3 (со знаком плюс). Например, ряд составляет семь членов (-3, -2, -1 вверх), 0, (+1, +2, +3 вниз). Если число членов ряда четное (например, шесть), рекомендуется занумеровать члены верхней половины ряда (от середины) числами -1, -3, -5 и т. д., члены нижней половины (от середины) +1, +3, +5 и т. д. В обоих случаях .

Если члены динамического ряда получили такую нумерацию, что их сумма оказывается равной нулю, то система уравнений принимает следующий вид:

(2.12)

Отсюда.

(2.13).

Из приведенных формул видно, что для нахождения параметров уравнения прямой необходимо знать величины

Пример 2.3

За период 2006—2012 гг. известен динамический ряд материалопотока регионального склада (табл. 2.2). Спрогнозировать материалопоток 2015 г.

Таблица 2.2

Динамический ряд материалопотока регионального склада за период 2006−2012 гг.

Рис. 2.15. Динамика изменения объема перевозок за период 2006—2012 гг.:

1 — фактические данные; 2 — расчетные данные.

Решение.

По данным приведенного динамического ряда строим график динамики изменения материалопотока за период 2006—2012 гг. (рис. 2.15). Из графика очевидна тенденция изменения товарооборота. Она идет по прямой линии. Поэтому связь между указанными признаками может быть описана уравнением (2.9), т. е.

у= а + bх,

где ух — материалопоток регионального склада; х — рассматриваемый период; а — товарооборот при нулевом периоде (х — 0): b — ежегодный прирост.

Для расчета этих величин составим табл. 2.3.

Таблица 2.3

Расчет параметров уравнения прямой для прогнозирования материалопотока в 2015 г.

Подставив найденные значения в формулы а и b, получим.

Уравнение нашей прямой будет.

Подсчитаем теоретические уровни ряда для каждого года (см. гр. 6 табл. 2.3). Почти полнее совпадение итогов эмпирических и теоретических уравнений (несовпадение на 1 усл. ед.) свидетельствует о правильности произведенных вычислений.

Сопоставление гр. 2 и 6 по каждому году показывает весьма незначительные отклонения расчетных уровней от фактических, что подтверждает правильность выбора математического уравнения.

Для прогнозирования материалопотока необходимо продолжить гр. 3 (рассматриваемый период) числами, следующими за указанным числом. В нашем случае — это 3, далее рассматриваемый период будет 4, 5, 6 и т. д.; на 2015 г. — х = 6, тогда.

2. Если уровни динамического ряда обнаруживают тенденцию роста по геометрической прогрессии, т. е. прирастают на одинаковое число процентов, выравнивание такого ряда следует проводить по показательной кривой: . В этом уравнении х — рассматриваемый период; а — начальный уровень ряда (при х= 0); b — темп роста за единицу времени.

Техника выравнивания по показательной кривой аналогична технике выравнивания по прямой.

3. На практике часто используются и другие функции, например уравнение параболы второго порядка:

(2.14).

где а, b, с — параметры, которые находятся из системы нормальных уравнений.

Сама система уравнений, получаемая по способу наименьших квадратов, следующая:

(2.15).

Обозначим время таким образом, что . В этом случае нулю будет равно и (как всякая сумма нечетных степеней х). В силу сказанного система нормальных уравнений примет следующий вид:

(2.16).

Во втором уравнении системы (2.16).

(2.17).

Пример 2.4

Известен динамический ряд объема перевозок грузов с регионального склада в 2007—2012 гг. (табл. 2.4). Спрогнозировать объем перевозок в 2015 г.

Таблица 2.4

Динамический ряд объема перевозок грузов с регионального склада в 2007−2012 гг.

Решение.

По данным приведенного динамического ряда строим график динамики изменения материалопотока за период 2007—2012 гг. (рис. 2.16). Вычислим параметры а, Ь, с по данным табл. 2.5. Отсюда.

Рис. 2.16. Динамика изменения объема перевозок за период 2007;2012 гг.:

1 — фактические данные; 2 — расчетные данные.

Таблица 2.5

Расчет параметров уравнения параболы для выравнивания и прогнозирования объема перевозок с регионального склада

Год.	Объем перевозок (тыс. т), у	x	x2	x4	xy	x2y
		— 5.			— 26 990.	134 950.
		— 3.			— 17 154.	51 462.
		— 1.			— 6132.
		+1.
		+3.			22 941.	68 823.
		+5.			42 590.	212 950.
	40 298.				22 140.	481 202.	40 298.
		+7.					8611,39.
		+9.					10 846,31.
		+ 11.					12 219,31.

Таким образом, уравнение параболы в нашем примере имеет следующий вид:

(2.18).

Подставив в эту формулу конкретные значения х, находим значения у для всех членов динамического ряда (см. гр. 8 табл. 2.5). Сопоставление гр. 2 и 8 показывает незначительные отклонения теоретических уровней от эмпирических, что свидетельствует о правильности выбора уравнения кривой.

В 2015 г. объем перевозки грузов с регионального склада составит

4. В расчетах динамический ряд может быть описан уравнением гиперболы:

(2.19).

Для гиперболической зависимости способ наименьших квадратов дает такую систему нормальных уравнений:

(2.20).

Решая это уравнение способом определителей, находим.

(2.21).

Пример 2.5

За период 2007—2012 гг. известен товарооборот регионального склада (табл. 2.6). Спрогнозировать товарооборот регионального склада на 2013−2015 гг.

Таблица 2.6

Товарооборот регионального склада

Решение.

Но данным приведенного товарооборота регионального склада строим график изменения товарооборота (рис. 2.17), из которого видна тенденция изменения товарооборота. Она изменяется по гиперболе. Эта связь между указанными признаками соответствует уравнению гиперболы, формула (2.19):

Рис. 2.17. Динамика изменения товарооборота на региональном складе:

1 — фактические данные; 2 — теоретические данные В этой формуле необходимо определить параметры а и b, формула (2.11).

Для нахождения параметров а и Ь составим табл. 2.7. Определив параметры а и b, составим уравнение гиперболы для прогнозирования товарооборота в 2013—2015 гг.

Таблица 2.7

Таблица нахождения параметров а и b

x
				0,1 428.	70,0.
	0,5.	0,25.		0,1 000.	50,0.
	0,33.	0,109.		0,714.	46,6.
	0,25.	0,062.		0,55.	45,0.
	0,2.	0,04.		0,500.	40,0.
	0,17.	0,029.		0,416.	40,0.
?21.	?2.45.	?1.491.	?930.	?0,4 113.	?291,6.

Уравнение гиперболы для прогнозирования товарооборота имеет следующий вид:

Теоретический прогноз по формуле за период 2007—2012 гг. приведен ниже:

Суммарный фактический товарооборот (930) от теоретического (931,4) практически не отличается. Это говорит о том, что мы правильно определили динамику изменения товарооборота. Спрогнозируем товарооборот на 2013 и 2014 гг.

Графическое изменение товарооборота за период 2007—2015 гг. приведено на рис. 2.17.

После приведения известных уравнений для прогнозирования проведем прогноз объема перевозок с регионального склада с учетом влияния на него различных показателей. Исходные данные для прогнозирования объема перевозок с регионального склада в 2014 г. приведены в табл. 2.8.

Таблица 2.8

Исходные данные для прогнозирования объема перевозок с регионального склада в 2014 г.

(данные условные).

Решение.

Прогнозирование объема перевозок можно произвести по двум вариантам:

первый — по формуле.

где - удельный показатель объема перевозок, т, отнесенный к 1 млн руб. товарооборота склада; Т — товарооборот склада, млн руб.;

второй — по формуле.

где - плановый и расчетный уровни механизации погрузочно-разгрузочных работ соответственно; - плановый и расчетный удельные веса децентрализованных перевозок соответственно.

Во втором варианте мы получаем более точный прогноз, так как учитываем влияние на удельный показатель объема перевозок уровня механизации погрузочно-разгрузочных работ и уровня децентрализованных перевозок (вывоз груза потребителями).

Произведем расчет по первому варианту. Объем товарооборота в 2014 г. по прогнозу составляет 208,6 млн руб. (смотри предыдущий расчет). Однако другой показатель (удельный показатель объема перевозок, отнесенный на 1 млн руб. товарооборота) в 2014 г. нам не известен. Однако в табл. 2.8 (строка 3) он выражается динамическим рядом. Динамика (см. рис. 2.18) дает нам основание утверждать, что изменение этого показателя по годам имеет вид гиперболы. Эта тенденция может быть принята за основу для прогнозирования этого показателя по уравнению гиперболы:

Рис. 2.18. Динамика изменения удельного показателя:

1 — фактические данные; 2 — теоретические данные Параметры a и b находим по уравнению (2.21). Исходные данные для определения этих параметров приведены в табл. 2.9. Таким образом,.

После определения параметров а и b составим уравнение гиперболы.

Таблица 2.9.

Расчет параметров а и b уравнения гиперболы для выравнивания и прогнозирования удельного показателя объема перевозок, отнесенного на 1 млн руб. товарооборота.

Год.
		0,5.	0,25.
		0,33.	0,109.
		0,25.	0,062.
		0,2.	0,04.
		0,17.	0,029.
	?21.	2,45.	1,491.	26 100.		26 131.
						5004,0.
						5047,5.

Из таблицы видно, что удельный показатель объема перевозок, отнесенный на 1 млн руб. товарооборота регионального склада, составит 5047,5 т/1 млн руб. в 2014 г.

Следовательно, прогнозируемый объем перевозок Qp с регионального склада в 2014 г. составит (по первому варианту):

Произведем расчет по второму варианту. Как показывает практика, на объем перевозок оказывает влияние уровень механизации погрузочных работ У и уровень децентрализованных перевозок Mp.

Для проведения прогноза на 2014 г. используем данные табл. 2.8.

Расчеты показали:

Mp — удельный вес децентрализованных перевозок груза автотранспортом соответствует гиперболе и в 2014 г. составит 11,65%. Плановый удельный вес Мп = 15%.

У — уровень механизации погрузочно-разгрузочных работ соответствует прямой и в 2014 г. составит 87,55%. Плановый уровень механизации — 85%.

После всех проведенных расчетов, и используя данные из табл. 2.5, определяем объем перевозок в 2014 г. по формуле (2.23):

Как видим, с учетом влияния децентрализованных перевозок и механизации погрузочно-разгрузочных работ прогноз материалопотока сократился на 69 422,1 т. Поэтому эти показатели необходимо учитывать при прогнозировании объема перевозок с регионального склада.

• [1] Плановый удельный показатель децентрализованных перевозок; в расчетах принять Мп = 15%.
• [2] Плановый уровень механизации погрузочно-разгрузочных работ; в расчетах принять Уп = 15%.