Д. З. Дискретные модели колебаний стержней

Д. 3.1. Колебания системы с двумя степенями свободы

Пример Д. З. Рассмотрим колебания системы с двумя степенями свободы на примере простейшей фермы (рис. Д. 19, а).

Рис. Д. 19

Необходимо рассчитать и сравнить напряжения в стержнях стержневой системы при действии статической и динамической нагрузки. При динамическом нагружении следует учесть, что материал стержней является вязкоупругим.

Надо проверить выполнение закона сохранения механической энергии. Для этого считаем, что материал стержней фермы является идеально упругим. Ферма заданием начального перемещения узла В выведена из состояния равновесия и далее предоставлена самой себе. В процессе последующих колебаний механическая энергии фермы должна сохраняться.

Решение. Расчет динамических напряжений проведем с помощью модели (рис. Д. 19, б), в которой масса стержней сконцентрирована в узле В, связи являются безмассовыми и обладающими свойствами стержней системы.

Нормальные усилия в сечениях стержней (связей) определяются с помощью метода сечений (рис. Д. 19, а).

В этом случае необходимо записать два дифференциальных уравнения движения узла В. Далее эта система уравнений второго порядка сводится к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка, которая и интегрируется при заданных начальных условиях.

Задача решается в системе Mathcad.

При использовании оператора интегрирования.

необходимо сформировать правые части дифференциальных уравнений, задать время моделирования (t f in = 0.03), счетчик времени (s: = 0.. п) и количество точек, в которых производится численное интегрирование (п: = 800).

Задание исходных данных (вся масса фермы сосредоточена в узле В) (Н, м, с, кг, Па):

Расчет на действие статической нагрузки: Принято (М, Па):

Расчет на действие динамической нагрузки Плотность материала стержней:

Масса фермы:

Расчет вертикального перемещения узла В:

Предположим, что нагрузка мгновенно возрастает до некоторого предельного значения (Fa) и далее остается постоянной:

Задание начальных условий: • начальные перемещения.

• начальные скорости Интегрирование уравнений движения узла В:

Проекции перемещения узла В и само перемещение (в мм):

Расчет нормальных сил и напряжений в стержнях при действии динамической нагрузки (в МПа):

Напряжения (в МПа):

Результаты показывают, что динамические напряжения в начале нагружения (и, = 62) почти вдвое больше статических. После завершения колебаний (п = 800) они практически совпадают со статическими. Динамические коэффициенты равны 1,87 и 1,58.

Проверка выполнения закона сохранения механической энергии (F= 0, R = 0, заданы начальные перемещения):

Механическая энергия сохраняется (Н м):