Классификация понятий. 
Методика обучения математике

Рассмотрение определения понятия связано с такой характеристикой, как содержание понятия. Объем же понятия раскрывается путем классификации.

Классификация — систематическое распределение некоторого множества по классам, возникающее в результате последовательного деления.

Операция деления — логическая операция, раскрывающая объем понятия путем выделения в нем возможных видов объекта. Например, всех студентов педагогического университета можно разделить на собирающихся идти работать в школу и не собирающихся.

Основанием деления понятия является свойство, в соответствие с которым выделяются подмножества объема понятия (виды понятия). В вышеприведенном примере основанием является свойство: «иметь намерение работать в школе».

При осуществлении классификации важен выбор основания деления: разные основания дают разные классификации одного и того же понятия. Так, например, выбрав в качестве основания количество равных сторон, все параллелограммы можно разделить на ромбы и параллелограммы, имеющие неравные смежные стороны; а такое основание, как наличие прямого угла, позволяет разделить все параллелограммы на прямоугольники и параллелограммы, не являющиеся прямоугольниками.

Классификация может производиться по существенным свойствам (естественная) и по несущественным (вспомогательная). При естественной классификации, зная к какой группе принадлежит элемент, мы можем судить о его свойствах. Так, Д. И. Менделеев, расположив химические элементы в зависимости от их атомного веса, вскрыл закономерности в их свойствах и создал Периодическую систему, позволяющую предсказывать свойства еще не открытых химических элементов.

Выделяют два вида деления.

Деление по видоизменению признака — это деление, при котором свойство — основание деления — присуще объектам выделенных видов в равной степени. Например, в зависимости от количества сторон в многоугольнике все многоугольники делят на треугольники, четырехугольники,/7-угольники.

Дихотомическое деление — это деление, при котором данное понятие делится на два вида, но наличию или отсутствию некоторого свойства.

Например, классификацию треугольников можно выполнить по двум основаниям: 1) виду наибольшего угла треугольника (но не по величине угла); 2) равенству двух сторон. Первое деление — деление по видоизменению свойства, второе — дихотомическое. В результате все треугольники будут сначала разбиты на остроугольные, прямоугольные, тупоугольные (один угол тупой), а затем каждое из полученных множеств будет разделено на два подмножества. В результате будет получено шесть классов: остроугольные разносторонние, остроугольные равнобедренные, прямоугольные разносторонние, прямоугольные равнобедренные, тупоугольные разносторонние, тупоугольные равнобедренные.

Операция деления подчиняется правилам.

• 1. Деление должно быть соразмерным, т. е. объединение выделенных классов должно образовывать исходное множество (сумма объемов видовых понятий равна объему родового понятия).
• 2. Деление должно проводиться только по одному основанию.
• 3. Пересечение классов должно быть пусто.
• 4. Классы не должны быть пустыми.

Часто выделяют еще одно требование (хотя при выполнении требования 2 это требование должно выполняться): деление должно быть непрерывным^[1].

Например, нельзя делить, как иногда делают в школе при изучении русского языка, члены предложения на подлежащее, сказуемое и второстепенные члены. Сначала необходимо выделить главные и второстепенные члены предложения, а затем уже делить каждый вид.

• [1] Бочаров Б. Л. Основы логики.