Теорема пуанкаре о возвращении

Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема позволяет установить еще одно важное свойство фазового потока гамильтоновой системы — свойство почти повторяемости фазового состояния системы в случае ограниченности в фазовом пространстве областей, определяемых неравенством Н (р, q) < А.

Пусть область фазового пространства D_H={ : х = (р, q) 6 Л²", Н (р, q) $ Л} ограничена и В_с/2 (Xq) = <�х: |х — Xq| < е/2} — окрестность произвольной точки, целиком лежащая в D_h. Обозначим через g однопараметрическую группу отображений — гамильтонов фазовый поток со свойствами:

Свойства Г, 3* следуют из того, что вдоль фазовых траекторий сохраняется гамильтониан #(р, q), поскольку он предполагается независящим от времени, а свойства 2‘, 4' выражают теорему Лиувилля о сохранении фазового объема.

Т. В любой окрестности B_t/2 (Хо) для любого Т> 0 найдется точка х., такая, что |g^u х. — х.| < е, где I. > Т.

А Обозначим через А" = g^nT Я_е/2(Хо) и рассмотрим последовательность {/!"}" «• Если множества А» попарно не пересекаются (А_кПА" = 0 Vk, m), то.

но.

Противоречие позволяет сделать вывод о том, что при некоторых к и m (m > к) множества А_к и А_т пересекаются. Сделав к шагов «назад», найдем, что Л<)ПЛ_т_* * 0- Пусть х еА₀ГА_т__к и существует х. = е Aq. Далее |х-х.| <�е, так как оба эти элемента принадлежат Я_е/2(хо). Таким образом, траектория движения, начавшаяся в точке х* из области Д_е/2(Хо), в момент времени /• = = (тк) Т>Токазывается на расстоянии, меньшем е от своей начальной точки. ?

Теорема Пуанкаре утверждает, что существует «достаточно много» фазовых траекторий в ограниченной области D_hl которые «возвращаются» к своей начальной точке.

Множество А_кГА" имеет положительный объем и обязательно пересекается с некоторым множеством А_{. Обобщая доказательство теоремы, можно сделать вывод, что существует траектория, двукратно возвращающаяся в е-окрестность начальной точки. Дальнейшее обобщение приводит к выводу о существовании траекторий, возвращающихся произвольное число раз в е-окрестность своих начальных условий. Это свойство справедливо для достаточно малой окрестности любой точки области D_h. Другими словами, теорема Пуанкаре о возвращении утверждает, что в области D_h имеется всюду плотное множество траекторий, возвращающихся в любую сколь угодно малую окрестность своего начального состояния. Среди этих траекторий находится важный класс движений — периодические движения, когда начальное состояние повторяется в точности. Однако теорема Пуанкаре не исключает возможности существования асимптотических движений, когда траектория навечно покидает окрестность своего начального состояния.

П. Материальная точка массы m движется по плоскости Ох, х₂ в консервативном поле с потенциалом К (х, х₂) = х,² + х₂⁴ + х₂³ Функция Гамильтона Я= /2m~^l(p² + р₂²) + V (x_Xi х₂) представляет полную энергию системы, а постоянная энергии И изменяется в диапазоне от -27/256 до +оо. Область {Я (р, х) 0 существуют асимптотические движения с начальными условиями, когда /2p₂²(0)m~^l + х₂⁴(0) + х₂³(0) = 0, х₂(0) * 0. Фазовый поток, спроектированный на плоскости (р, х,), (р₂, х₂), соответственно имеет вид, представленный на рис. 52.