Геометрическая интерпретация пуансо движения твердого тела с одной неподвижной точкой по инерции. 
Устойчивость стационарных вращений. 
Регулярная прецессия

Представление о том, как происходит движение тела в случае Эйлера, было дано Л. Пуансо. Докажем две леммы, из которых будет следовать геометрическая трактовка движения.

Л.1. Нормаль к эллипсоиду инерции тела в точке Р_у лежащей на оси мгновенного вращения, коллинеарна постоянному вектору момента количеств движения.

А Эллипсоид инерции в главных осях инерции, определяющих систему координат Oxyz, описывается уравнением Ах² + By² + Cz² = 1, а нормаль к нему имеет компоненты (2Ах, 2By, 2Cz). Если точка Р принадлежит эллипсоиду инерции и оси мгновенного вращения, то ее координаты равны х = Хр_у у = Xq_y z = Хг, X е R^] и нормаль п = 2Х (Ар_у Bq_y Cr) = 2Xg. Далее Х²(Ар² + Bq² + О²) =1 и X² = (27)" ¹. Т Л.2. Касательная плоскость п к эллипсоиду инерции в точке Р неподвижна в инерциальном пространстве.

А Для доказательства леммы достаточно показать, что расстояние от неподвижной точки О до плоскости п постоянно, так как в лемме 1 уже показано, что нормаль к плоскости п неизменна (она совпадает с постоянным в инерциальной системе координат вектором G). Пусть ОК — перпендикуляр, опущенный из точки О на плоскость п (рис. 35). Тогда.

а кинетическая энергия тела и величина момента количеств движения суть первые интегралы движения. ?

Таким образом, эллипсоид инерции, который можно отождествить с рассматриваемым телом, в процессе движения касается неподвижной плоскости п в точке, принадлежащей вектору мгновенной угловой скорости. Отсюда следует, что скорость этой точки равна нулю и эллипсоид инерции катится без проскальзывания по неподвижной плоскости. Геометрические места точек следов точки Р на плоскости я и на эллипсоиде инерции называются герполодией и полодией соответственно. Все полодии — замкнутые кривые в случае общего положения, так как они определяются периодическими функциями времени р (/), q (t) и КО в системе координат, связанной с главными осями эллипсоида инерции тела. Почти все герполодии в случае общего положения незамкнуты (почти-периодическое движение тела) и заполняют всюду плотно кольцо на плоскости я с центром в точке К.

Рассмотрим вопрос об устойчивости стационарных вращений, имея в виду близость возмущенных и невозмущенных значений р, q, г. Семейство полодий на эллипсоиде инерции Ах² + By² + + Cz² = 1 определяется уравнением.

Преобразование координат X = ху[а, Y =yjB, Z = z-JC отображает семейство полодий на единичную сферу х² + У² +z² =1. Образ полодий в новых координатах есть пересечение единичной сферы и эллипсоида АХ^г + BY² + CZ¹ = d~², d=OK. Варьируя начальные.

условия, можно получать различные значения параметра d и соответствующие ему полодии (рис. 36). В окрестностях концов большой и малой полуосей эллипсоида инерции полодии порождают особую точку типа центр. Если А < В < С, то стационарные вращения вокруг осей Ох и Oz устойчивы: при малых возмущениях начальных условий угловая скорость вращения тела остается все время вблизи соответствующей оси. Напротив, вращение вокруг средней Р_ИС. зб оси эллипсоида инерции, оси.

Оу, неустойчиво, так как эта особая точка имеет гиперболический тип и существуют полодии, которые покидают любую малую окрестность конца средней полуоси. Например, это асимптотические движения, рассмотренные выше.

Рассмотрим важный с практической точки зрения случай движения динамически симметричного твердого тела, когда А = В*С. Движение тела в этом случае описывается элементарными функциями и называется регулярной прецессией.

Векторное уравнение (4.1) в проекции на ось Oz в этом случае имеет вид 0 = 0, и, следовательно, проекция угловой скорости на ось симметрии Oz постоянна, т. е. г=г₀. Из третьего уравнения.

(4.8) следует, что угол нутации 0 постоянен и cos 8₀= О₀О', а из соотношения (4.9) получим ф = GA^X. Угловая скорость собственного вращения ф = г₀ — ф cos0_o согласно кинематическим уравнениям Эйлера (3.6) и далее.

Таким образом, в случае регулярной прецессии угол нутации постоянен, а углы прецессии и собственного вращения суть линейные функции времени.

Ось симметрии тела Oz составляет постоянный угол с осью 0?₃, по которой направлен вектор G, и описывает вокруг нее конус, а тело равномерно вращается вокруг оси Oz. Регулярная прецессия есть сумма равномерных вращений вокруг осей 0^_} и Oz.