Линейные системы. 
Электроника

Важнейшая характеристика линейной системы — коэффициент передачи, определяемый как отношение выходного сигнала Y к входному X.

Коэффициент передачи — величина относительная, безразмерная и в общем случае в электрических цепях может определяться как отношение постоянных или переменных напряжений, токов или мощностей. В тех случаях, когда входное и выходное воздействия имеют различный вид (например, если входное воздействие задано в виде светового потока, а выходной сигнал получается в виде электрического тока), коэффициент передачи называется коэффициентом преобразования и имеет определенную размерность.

В случае гармонических сигналов коэффициент передачи — величина комплексная, зависящая от времени или от частоты, поскольку реальные радиоэлектронные устройства имеют ограниченный частотный диапазон и пропускают не все составляющие спектра сигнала одинаковым образом. Это объясняется наличием различных реактивных элементов — конденсаторов, катушек индуктивности, трансформаторов и т. д., сопротивление которых зависит от частоты.

Реактивные элементы — накопители энергии, вследствие этого системы обладают инерцией: выходное воздействие всегда отстает во времени от входного, и после прекращения действия входного сигнала на выходе еще некоторое время действует выходной сигнал.

Коэффициент передачи может быть определен как отношение спектра выходного сигнала к спектру входного или как отношение временной функции выходного сигнала к временной функции входного сигнала при 0 < t < со. Полученный в первом случае коэффициент передачи есть спектральная (частотная) характеристика, показывающая, в какой степени спектр выходного сигнала отличается от спектра входного. Во втором случае коэффициент передачи — временная характеристика и показывает, в какой мере форма выходного сигнала отличается от формы входного сигнала. Спектральная и временная характеристики, определенные указанным способом, не универсальны. Кроме того, экспериментальное и аналитическое их определение может вызвать значительные затруднения в зависимости от вида входного сигнала.

Поэтому в электронике частотные свойства принято отображать с помощью амплитудно-фазовой характеристики, временные свойства — с помощью переходной функции и импульсной реакции.

Амплитудно-фазовая характеристика линейных систем наиболее часто определяется как отношение синусоидального напряжения сигнала на выходе системы к синусоидальному напряжению сигнала на входе системы во всем диапазоне частот — от нуля до бесконечности:

где 0 < t < ш, а At — время задержки (запаздывания).

Фазовый сдвиг Аф = соДг выходного сигнала относительно входного обусловлен задержкой сигнала в реактивных элементах. В более общем виде амплитудно-фазовая характеристика может быть записана в комплексном виде:

где К (со) — амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), показывающая, каким образом изменяется отношение амплитуд (эффективных или средних значений) выходного и входного напряжений сигналов при изменении частоты; ф (Ъ)) — фазово-частотная характеристика (ФЧХ), показывающая, как изменяется фаза напряжения выходного сигнала при изменении частоты входного сигнала.

Амплитудно-частотная и фазово-частотная характеристики взаимосвязаны, и для большинства радиоэлектронных систем каждой амплитудно-частотной характеристике соответствует одна и только одна фазово-частотная характеристика.

Амплитудно-фазовая характеристика полностью определяет частотные свойства как в установившемся режиме (при воздействии синусоидального напряжения постоянной амплитуды и неизмененной частоты), так и в переходном (при произвольном воздействии).

Рассмотрим поведение линейной системы с известной амплитудно-фазовой характеристикой при произвольном воздействии на его входе. Пусть X (t) — входной непериодический сигнал, который можно представить в виде интеграла Фурье.

т. е. суммы бесконечно малых синусоидальных составляющих, каждая из которых имеет вид:

При воздействии каждой бесконечно малой синусоидальной составляющей dX (t) на выходе линейной системы появляется бесконечно малая синусоидальная составляющая.

Так как для линейной системы справедлив принцип суперпозиции (действие суммы причин равно сумме действий, вызываемых каждой отдельной причиной), то для нахождения полного выходного сигнала У (г) следует просуммировать выражение для dY (t) по всем частотам, в результате чего получим.

Но Y (t) можно также представить в виде интеграла Фурье где 5к0'с°) — комплексный спектр сигнала на выходе системы.

Приравняв эти выражения, получим.

Откуда имеем 5,{/w) = S_x(ju>)K (ju>).

Таким образом, спектр выходного сигнала равен спектру входного, умноженному на амплитудно-фазовую характеристику системы. Эти выражения справедливы для периодических и непериодических сигналов. Для стационарных случайных сигналов имеет место иное соотношение:

где lV,{co) и VT_v(co) — спектры мощности выходного и входного сигналов; [АХ/ш)] — модуль амплитудно-фазовой характеристики.

Из полученных выражений следует, что поведение линейной системы при любом произвольном воздействии определяется его амплитуднофазовой характеристикой, позволяющей вполне однозначно находить:

1) спектр преобразованного выходного сигнала — по спектру входного сигнала и амплитудно-фазовой характеристике:

2) спектр входного сигнала — по спектру преобразованного выходного сигнала и амплитудно-фазовой характеристике системы:

3) амплитудно-фазовую характеристику — по спектрам входного и преобразованного сигналов:

Временные характеристики наиболее универсально отображаются с помощью переходной функции h (t) и импульсной реакции g (t).

Под переходной функцией понимается отклик на воздействие в виде единичной функции. Импульсная переходная характеристика или импульсная реакция — это отклик системы на воздействие единичного импульса.

Определим отклик на произвольное воздействие, если известны его переходная функция и импульсная реакция.

Пусть X (t) — произвольный непериодический сигнал, который можно представить в виде интеграла Дюамеля:

т. е. интегральной суммы запаздывающих единичных функций о (Г — а), имеющих бесконечно малую амплитуду.

где Х'(т) — первая производная функции сигнала по времени.

При подаче на вход элементарного импульса в виде единичной функции с бесконечно малой амплитудой.

на выходе действует элементарный выходной сигнал.

где h (l — т) — переходная функция системы.

Так как для линейной системы справедлив принцип суперпозиции, то полный отклик выразится как.

При выводе этого выражения предполагалось, что Х (0) = 0 при t = 0. Однако в ряде случаев Х (0) * 0, т. е. начальные условия — ненулевые. Тогда последнее выражение может быть представлено в виде:

Когда сигнал задан графически и известна переходная функция, выходной сигнал может быть представлен в виде конечной суммы элементарных откликов:

Если сигнал представить в виде интегральной суммы единичных импульсов 8(t)

то выходной сигнал Y (t) может быть определен как.

где g (t — т) — импульсная реакция устройства.

Поскольку единичный импульс можно выразить в виде первой производной по времени от единичной функции б (г) = d/dt [ст (0]. то для линейной системы импульсная реакция связана с переходной функцией тем же соотношением g (t) = d/dt h (t)].

Итак, поведение линейной системы, ее отклик Y (t) на произвольное воздействие X (t) полностью определяются или амплитудно-фазовой характеристикой K (ja>, или переходной функцией А (г), или импульсной реакцией g (t):

Очевидно, что между всеми тремя характеристиками существует однозначная связь, так как они по-разному, но с одинаковой полнотой отображают свойства линейной системы. Эта связь легко обнаруживается, если на вход подать воздействие в виде единичного импульса X (t) = 8(t), отклик на который Y (t) — импульсная реакция g (t) или воздействие в виде единичной функции Х (С) = a (t), при этом Y (t) = h (t).

так как спектральная плотность единичного импульса равна единице. Откуда.

Амплитудно-фазовую характеристику можно определить и при воздействии случайного сигнала, спектральная плотность мощности которого от частоты не зависит: W_A*((0) — a- const. Таким свойством обладает сигнал в виде «белого шума», возникающего, например, в результате тепловых флюктуаций электронов в проводнике. При этом.

В общем случае сравнительная простота определения преобразованного сигнала по спектру входного и известной амплитудно-фазовой характеристик обманчива, поскольку вычисление интегралов вида.

обычными методами не всегда возможно.

Это приводит к тому, что решение с помощью интегралов Фурье целого ряда важных задач преобразования сигналов весьма затруднено. Однако эти трудности могут быть в значительной степени устранены, если воспользоваться преобразованием Лапласа.

Следует отметить, что только абсолютно линейные системы могут осуществлять неискажающее преобразование сигналов, при котором сигнал на выходе отличается от входного лишь интенсивностью и запаздывает на время т, т. е.

где К₀ = const и от времени не зависит.

С позиций спектрального анализа это условие выполняется, если коэффициент передачи от частоты не зависит:

где К₀ = const.

Из этих выражений видно, что амплитудный спектр выходного сигнала имеет те же самые спектральные составляющие, что и входной сигнал, но значение которых в К₀ больше или меньше исходных. Это означает, что амплитудно-частотная характеристика должна быть равномерна, т. е. не должна зависеть от частоты.

При этом фазово-частотная характеристика должна быть линейна, т. е. должна иметь постоянную крутизну:

где т = const.

Реальные радиоэлектронные системы не могут иметь строго подобных характеристик и поэтому в большей или меньшей мере искажают сигналы. Для реальных систем условием не слишком искаженного преобразования является выполнение их таким образом, чтобы амплитудно-частотные характеристики были бы равномерны, а фазовочастотные линейны только в той полосе частот, где сосредоточена главная часть спектра сигнала, т. е. от нижней граничной частоты ш_н до верхней граничной частоты оз_и.

Ограничение полосы частот, пропускаемых без искажений, означает, что система обладает инерционностью: сравнительно медленно переходит в устойчивый режим работы и сравнительно долго «помнит» воздействие, после снятия которого медленно переходит в исходное, нормальное состояние.

Время перехода из состояния покоя в установившийся режим работы называется временем установления t_y или длительностью переходного процесса. Между длительностью переходного процесса и полосой пропускания Д/ для большинства линейных систем существует зависимость Дf t_y~ 1.

Таким образом, чем шире полоса частот, пропускаемых без искажений, тем меньше время установления, и, наоборот, при узкой полосе пропускания время установления может быть весьма большим.

Контрольные вопросы.

• 1. Какие методы геофизики основаны на изучении временных и частотных характеристик верхних слоев земной коры?
• 2. Есть ли смысл использовать для целей геофизики случайные (упругие, электромагнитные и т. д.) поля естественного происхождения? Как бы вы рекомендовали эти исследования проводить?