Дифференциальная форма физических уравнений линейной вязкоупругости

Для наглядного представления вязкоупругих свойств материалов часто прибегают к механическим моделям. Так, свойство идеальной упругости моделируется идеально упругой пружиной (рис. 5.5, а), моделью вязких свойств является наполненный вязкой жидкостью цилиндр с поршнем (рис. 5.5, б).

Рис. 5.5.

Для представления механических свойств вязкоупругих материалов используются модели, являющиеся комбинациями упругих и вязких элементов.

Необходимо заметить, что всякая механическая модель — это интегральная аналогия макроскопических свойств материала. Как правило, в материале или вообще невозможно обнаружить структурные элементы, обладающие либо чисто упругими, либо чисто вязкими свойствами, или, когда все-таки это удается, их связи и взаимодействия оказываются настолько сложными, что адекватная механическая модель не может быть построена. Таким образом, механические модели позволяют с различной степенью точности описывать процессы деформирования вязкоупругих материалов.

Рассматриваемые ниже модели Максвелла, Фойгта и трехэлементная модель описывают одноосное напряженное состояние.

Модель Максвелла представляет собой последовательное соединение упругого и вязкого элементов (рис. 5.6).

Рис. 5.6.

В этом случае напряжения в упругом (a_v) и вязком (а_в) элементах одинаковы, а полная деформация складывается из упругой и вязкой составляющих:

Эти соотношения являются следствием структуры модели и называются структурными.

Физические соотношения для элементов модели имеют следующий вид:

где Е — модуль упругости; г) — коэффициент вязкости материала.

Сформируем физическое соотношение линейной вязкоупругости, соответствующее этой модели.

Продифференцировав второе структурное уравнение по времени и учтя, что dz/dt = dzjdt + dzjdt, получим.

Это соотношение является определяющим, так как при заданном законе нагружения а (() из него может быть найдена деформация и наоборот.

В рамках этой модели ползучесть при постоянном напряжении а₀ = const описывается выражением е (0 = a ₀/Е + а,//г|,.

которому соответствует прямая. При t—> оо е —" оо (рис. 5.7).

Рис. 5.7.

Напряжения при постоянной деформации е₍₎ = const определяются из дифференциального уравнения.

где п = ц/Е.

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид.

Постоянная интегрирования определяется из начального условия a (t) = = а₀ и оказывается равной С = а₀

Таким образом, эта модель приводит к следующему закону релаксации напряжения (рис. 5.8):

Введенный ранее параметр п имеет размерность времени и называется временем релаксации (время, по истечении которого напряжение уменьшается в е раз).

Рис. 5.8.

Модель Фойгта — это параллельное соединение упругого и вязкого элементов (рис. 5.9).

Рис. 5.9.

Структурные и физические соотношения модели записываются следующим образом:

а определяющее (физическое) уравнение имеет вид.

Ползучесть при постоянном напряжении (а = а₀ = const) описывается соотношением.

согласно которому при? —" °° е —> <�у_{)/Е (рис. 5.10).

Если мгновенно реализовать деформацию и зафиксировать ее, то, как очевидно из определяющего уравнения модели, напряжение остается постоянным, следовательно, модель Фойгта не описывает процесс релаксации напряжения, что не согласуется с экспериментальными данными, поэтому прибегают к более сложным моделям.

Рис. 5.10 84.

Трехэлементная модель (рис. 5.11) качественно правильно описывает особенности деформирования, присущие линейным вязкоупругим материалам. Этой модели соответствуют следующие структурные уравнения:

а определяющее уравнение имеет вид.

где Я = Е₁Е₂/(Е_{ + Е₂) — длительный модуль упругости; Е = Е₂ — мгновенный модуль упругости; п = г|/(?, + Е₂) — время релаксации.

Рис. 5.11.

Рассмотрим в рамках этой модели процесс нагружения. Будем считать, что функция а (() задана.

В этом случае определяющее уравнение модели будет представлять собой неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

решение которого записывается следующим образом:

Постоянная интегрирования определяется из начального условия: при 1 = 0 е_и(0) = 0 и.

Таким образом, при заданном законе нагружения cr (t) деформации определяются следующим выражением:

где ядро ползучести П₀(/, — х) = {Е — Н)/(Е²п)ехр|-H (t — х)/(Еп).

В частности, при, а = ст₀ = const (ползучесть, рис. 5.12) получаем.

Рис. 5.12 Рис. 5.13

Из этой формулы ясно, что при t = 0 е (0) = ст₀/Е, при? —? оо _? —>• а₀/Н. При заданном законе деформирования е (?) из определяющего уравнения модели может быть найдено выражение для напряжения.

где ядро релаксации R₀(t — х) = [(Е — Н)/п]е ^х)/п.

В частности, при е = г₀ = const (релаксация напряжений, рис. 5.13).

Как видим, трехэлементная модель, в отличие от моделей Максвелла и Фойгта, качественно правильно описывает основные закономерности деформирования линейной вязкоупругости.

Стремление к более точному количественному описанию законов деформирования вязкоупругих материалов приводит к необходимости создания более сложных механических моделей, чем рассмотренные выше. Увеличение числа элементов модели приводит в определяющих дифференциальных уравнениях к увеличению количества слагаемых и появлению производных более высокого порядка.