Методика (порядок) составления линейных дифференциальных уравнений

• 1. Система расчленяется на отдельные звенья.
• 2. Определяются входные и выходные переменные величины каждого звена.
• 3. Составляется уравнение динамики каждого звена.
• 4. Составляется характер зависимости переменных величин звена от различных факторов (либо линейная, либо нелинейная зависимость).
• 5. Осуществляется линеаризация полученных нелинейных уравнений (если это возможно) при помощи разложения в ряд Тейлора (при отсутствии разрывов и неоднозначности в характеристиках).
• 6. Для получения линеаризованного уравнения в отклонениях составляется уравнение статики; из уравнения динамики вычитается уравнение статики.
• 7. Из уравнений динамики отдельных звеньев составляется уравнение динамики системы регулирования в целом путем исключения промежуточных переменных величин.

Уравнения типовых звеньев систем автоматического регулирования

К типовым звеньям САР относятся: генератор постоянного тока, электромашинный усилитель поперечного поля, двигатель постоянного тока, система Г-Д — это наиболее распространенные электрические звенья.

В качестве примера рассмотрим электромашинный усилитель (ЭМУ) поперечного поля — двухступенчатый машинный генератор (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Электрическая схема ЭМУ поперечного поля:

L_v, г_у— параметры обмотки управления: L₄, r_q — параметры поперечной цепи

Допущение: ЭМУ является линейным звеном, т. е. индуктивность постоянна и не зависит от тока в обмотках.

Составим ряд уравнений.

Дифференциальное уравнение обмотки управления (ОУ):

Аналогичное уравнение для поперечной цепи:

Значение Е₍, зависит от тока управления (при соответствующих допущениях линейная зависимость):

Выходная величина:

Из уравнений (1.29)—(1.32) может быть получено одно уравнение.

Запишем уравнения (1.29) и (1.30) в операторной форме и разделим на г":

где ~-Т_у — постоянная времени обмотки управления, тогда.

^гу

L_q _

Аналогично: ⁼ ^ - постоянная времени коротко замкнутой цепи и.

^Гя

Поделив уравнение (1.31) на (1.34), получим:

Аналогично, поделив уравнение (1.32) на уравнение (1.35), получим:

Перемножим эти два уравнения:

Числитель уравнения (1.38) представлен постоянным коэффициентом и называется статическим коэффициентом передачи ЭМУ:

Тогда дифференциальное уравнение в операторной форме запишется:

и в обычной форме:

В левой части уравнения (1.41) записываются выходные величины, начиная со старшей производной, в правой части — входные величины.