Надежность ремонтируемых объектов

Показатели надежности ремонтируемых объектов, не восстанавливаемых в процессе применения

Показатели надежности таких объектов вычисляются по наработке. Суммарная наработка до возникновения и-го отказа.

где Т^и) — наработка между (/' - 1)-м и i-м отказами.

Возможны два пути оценки надежности ремонтируемых объектов:

• 1) вычисление характеристик потока отказов;
• 2) вычисление условных распределений наработки между отказами.

В настоящее время наиболее распространено вычисление характеристик потока отказов. Рассматриваются потоки случайных событий, каждое из которых состоит в появлении отказа объекта. Поток отказов можно характеризовать основной функцией потока Ci (t) — математическим ожиданием числа отказов на интервале (0, г). Однако чаще в качестве показателя надежности используют параметр потока отказов — плотность вероятности возникновения отказа ремонтируемого объекта, определяемую для рассматриваемого момента суммарной наработки. Это определение нуждается в пояснении.

В теории массового обслуживания при изучении потоков событий применяют две характеристики:

1) интенсивность потока событий.

2) параметр потока событий.

где p_k(t, t+ At) — вероятность появления ровно к событий на интервале (/, / + дг).

Потоки отказов являются одинарными потоками, т. е. вероятность совмещения в один и тот же момент двух отказов пренебрежимо мала. Иначе говоря,

Для ординарных потоков отказов выражения (3.1) и (3.2) упрощаются, интенсивность и параметр потока отказов совпадают:

где /?|(/, / + At) — вероятность появления одного отказа на интервале (/, / + Д/); o (t) — бесконечно малая величина более высокого порядка малости, чем At (вероятность появления двух и более отказов на интервале (Г, f+Д/).

Чтобы не путать интенсивность отказов ремонтируемых изделий с интенсивностью отказов неремонтируемых изделий, применяют термин «параметр потока отказов».

Обычно рассматривают две математические модели случайных потоков отказов.

1. Количественное описание ординарных потоков отказов является наиболее простым при отсутствии последствия. В первой модели принимается, что вероятность появления отказов объектов в любом интервале наработки (f_h t₂) не зависит от появления отказов в других интервалах наработки, не пересекающихся с рассматриваемым интервалом.

Для ординарных без последействия (пуассоновских) потоков отказов вероятность безотказной работы объекта на интервале (*ь h)

Принято считать, что пуассоновский поток отказов характерен для сложных нерезервированных систем, состоящих из высоко- бб надежных элементов, потоки отказов которых являются независимыми. Если система «хорошо спроектирована», то нет отдельных малонадежных элементов, значения параметра потока отказов которых соизмеримы со значениями параметра потока отказов всей системы. Для такой системы появление отказов на одном интервале наработки почти не влияет на вероятность появления какого-либо числа отказов на другом интервале, не пересекающемся с первым.

При стационарном со = const потоке отказов без последствий вероятность безотказной работы на интервале At

2. Иногда допущение об отсутствии последействия является слишком грубым. Тогда в качестве второго варианта моделей реальных потоков отказов могут рассматриваться потоки отказов с ограниченным последействием, в которых значения наработки между последовательными отказами являются независимыми случайными величинами. Ограниченное последействие проявляется в том, что вероятность появления отказа на наработку (/_ь /₂) зависит от наработки, накопленной от последнего отказа, и не зависит от того, когда произошли предыдущие отказы.

Если случайные величины наработки между отказами распределены и независимы, то параметр потока отказов связан с плотностью распределения наработки между отказами /(/) уравнением.

Это уравнение может быть получено путем следующих рассуждений. Пусть при отказе объекта он мгновенно восстанавливается, приобретая свойства нового объекта (или заменяется на новый). Среднее число отказов (замен) п на интервале (/, t + d/) пропорционально числу N находящихся под наблюдением объектов и продолжительности интервала наработки dr.

где /*! — число отказов объектов из числа безотказно проработавших на интервале (0, /); п₂ — число отказов объектов из числа уже отказавших ранее.

Очевидно, что п_{ = Nf (t)dt.

Для определения среднего числа отказов объектов из числа уже отказавших ранее возьмем малый интервал наработки (т, х + dx), предшествующий /. В течение этого интервала отказало и заменено на новые Nco (x)dx объектов. Из них в интервале (/, t + d?) будут вновь заменены [Mo (x)dx]/(/ - x) d/. Суммируя по всем т от 0 до t, получаем, что всего из числа уже отказавших (смененных) до момента времени t объектов вновь откажут на интервале (/, t + + d t)

Общее среднее число отказов на интервале наработки (/, t + + d?).

При сокращении на Ndt получаем уравнение (3.4).

Таким образом, параметр потока отказов связан с плотностью распределения наработки между отказами интегральным уравнением Вольтера второго рода с разностным ядром. Это уравнение не всегда удается решить в конечном виде. В некоторых случаях удобно искать решение, пользуясь преобразованием Лапласа. При этом.

где co°(s) — преобразование Лапласа функции га (7), co°(s) = J e" ^s'co (Od?;

о.

f°(s) — преобразование Лапласа функции /(/).

В общем случае уравнение (3.4) интегрируется численно. При этом можно использовать метод последовательных приближений. Согласно этому методу производятся последовательные вычисления по формуле.

до тех пор, пока значения со,{/) и ш, ₊,(/) станут практически совпадать. В качестве нулевого приближения удобно брать интенсивность отказов X (t).

Если наработка между отказами имеет показательное распределение /(/) = Xexp (-Xt), то со = X = const.

В технических заданиях на проектируемые объекты часто используют средний показатель.

где tp — технический ресурс объекта.

Если при / -" оо плотность распределения наработки до отказа f (t) -> 0, то существует установившееся значение параметра потока отказов.

где т, — наработка на отказ ремонтируемого объекта (в рассматриваемом случае совпадает со средней наработкой до отказа т, = т,).

В общем случае наработка на отказ т, представляет собой отношение наработки ремонтируемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки. Часто т, используется в качестве самостоятельного показателя надежности. Если наработка выражается в единицах времени, то может применяться термин «среднее время безотказной работы».

При нормальном распределении наработки между отказами параметр потока отказов.

где т, а, — среднее значение и среднее квадратическое отклонение наработки между отказами.

На рис. 3.1 видно, что график параметра потока отказов совершает ряд затухающих колебаний, приближаясь к значению.

Рис. 3.1. Параметр потока отказа объектов: а — при нормальном распределении; 6 — при альфа-распределении наработки до отказа со = 1 /т,. Продолжительность этого колебательного процесса обратно пропорциональна среднему квадратическому отклонению наработки между отказами с,. Чем меньше а" тем определеннее отказы группируются около средних значений т, и тем большая суммарная наработка должна накопиться, прежде чем сравняются условия появления отказов. При а, = 0 отказы происходят регулярно, и установившееся значение со вообще не достигается.

Таким образом, если рассматриваемый интервал наработки выбран достаточно далеко от начала эксплуатации объектов данного типа, то параметр потока отказов можно считать стационарным.

Начальные (при t = 0) и установившиеся (при t -" да) значения параметра потока отказов при некоторых наиболее употребительных распределениях наработки между отказами приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1.

При вычислении условных распределений наработки между отказами можно отсчитывать наработку от момента окончания соответствующего ремонта или крупного профилактического мероприятия.

Показатели надежности в рассматриваемом случае те же, что и для неремонтируемых объектов, но они являются условными, т. е. вычисляются при условии, что произошло определенное число отказов. Эти показатели надежности характеризуют распределение случайной величины — наработки между /-м и (/' + 1)-м отказами.

Если с увеличением суммарной наработки наблюдаются все более серьезные отказы, то иногда целесообразно рассматривать ремонтируемый объект как неремонтируемый и находить несколько распределений наработки до отказа, соответствующих различным определениям неработоспособного состояния, например:

распределение наработки до первого отказа; распределение наработки до мелкого ремонта; распределение наработки до среднего ремонта; распределение наработки до капитального ремонта и т. д.