Квазигармонические автоколебания. 
Динамика машин. 
Колебания

Возбуждение автоколебаний в рассматриваемой модели возможно и при отсутствии остановок. Для их анализа приходится несколько «усовершенствовать» ранее использованную характеристику трения, которую теперь примем в виде так называемой статической характеристики F (v), имеющей падающий и нарастающий отрезки кривой (см. рис. 8.11, б). Статическая характеристика трения для выбранных нар трущихся элементов определяется экспериментально при последовательной фиксации скорости скольжения, поэтому распространение этой характеристики па динамические процессы при переменных скоростях скольжения, строго говоря, допустимо лишь на уровне оценок и качественного анализа процесса.

Дифференциальное уравнение для рассматриваемого случая отличается от (8.34) лишь тем, что в правой части стоит силаZ⁷, = -F (v). Разложим функцию F (v) в ряд Тейлора в окрестности v₍₎, по-прежнему полагая v = v₀+ q > 0:

где

При отсутствии остановок можно приближенно считать, что стационарные автоколебания описываются гармонической функцией; при этом решение ищем в виде.

Здесь Л_п отвечает статической деформации под действием силы

Воспользуемся методом энергетического баланса, для чего перепишем уравнение (8.34) в следующем виде:

где

Согласно (5.68), (8.51).

После подстановки (8.49) в (8.52) и интегрирования получаем.

Если мы при разложении силы трения в ряд Тейлора ограничимся в (8.48) линейным приближением (т. е. первыми двумя слагаемыми), то в выражении (8.53) сохранится лишь первый член, пропорциональный квадрату амплитуды. Как было установлено в параграфе 8.5, для возникновения автоколебаний необходимо, чтобы данному режиму предшествовала область динамической неустойчивости. Это в данном случае означает, что при Л < Л, (где Л. — амплитуда автоколебаний) АЕ > 0. Следовательно,

Поскольку b > 0, это возможно при h_x< -Ь< 0. При этом график F (v) имеет при малых скоростях вид «падающей характеристики», представленной на рис. 8.11, б.

Однако линейное приближение не дает возможности определения амплитуды автоколебаний Л₄, поэтому необходимо учесть нелинейные члены разложения силы трения. При установившихся автоколебаниях АЕ = 0, т. е. отводимая энергия равна подводимой. Приравнивая выражение (8.53) нулю, получаем.

Обычно при инженерных расчетах мы располагаем не коэффициентом линейного сопротивления 6, а коэффициентом рассеяния |/. Энергетический баланс, связывающий эти два параметра, определяется как n/²kb = 0,5fcA². Отсюда следует b = fc/(2nk).

При Л < Л, имеем АЕ > Ои АЕ< 0 при Л > Л. Таким образом, при переходе через Л, функция АЕ меняет знак с плюса на минус и имеет вид, показанный на рис. 8.7, а, что свидетельствует об устойчивости этого режима.

Напомним, что этот результат получен в предположении отсутствия остановок, когда q_maK =Ak0; в противном случае произойдет переход в режим релаксационных автоколебаний (см. выше).

Согласно формуле (8.55) наряду с рассмотренным случаем действительное значение Л ₄ может быть получено также и при.

b + A, > 0 и A₃ < 0. При этом характеристика трения F (y) отображается выпуклой кривой. Легко убедиться в том, что этот режим является неустойчивым. Тем не менее он представляет определенный интерес, так как в этом случае при А < А, колебания затухают (АЕ < 0), а при А > А, (АЕ > 0) амплитуда растет, причем при достижении задающей скорости = Ak = v₀ снова возникают релаксационные автоколебания с остановками.

Приведенные выше результаты можно было бы также получить и с помощью метода гармонической линеаризации (см. параграф 8.3) на базе дифференциального уравнения.

При этом оказывается, что.

При п (А) > 0 колебания затухают; при п (А) < 0 происходит раскачка. Уравнение, определяющее амплитуду автоколебаний имеет вид

а условие устойчивости этого режима.

В заключение отметим, что на основании современных представлений сила трения зависит от динамических факторов, среди которых важнейшим является скорость тангенциального нагружения фрикционного контакта. Поэтому, строго говоря, сила трения формируется в колебательной системе непосредственно происходящими в ней динамическими процессами.