Оценка характеристик случайных величин и процессов
Состоятельна, эффективна, но смещена. Смещение образовалось из-за того, что вместо неизвестного М (а) в формуле стоит оценка а. Приведенные в табл. 5.1 формулы соответствуют нормальному закону распределения вероятностей исследуемой величины. Полученные данные образуют матрицу сечений размером MxW, что и является моделью исследуемого процесса (табл. 5.2). Пример таблицы значений Kx{tk, ts) для… Читать ещё >
Оценка характеристик случайных величин и процессов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Наиболее используемые оценки характеристик приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Характеристики случайных величин и их оценки.
Окончание табл. 5.1.
Все оценки несмещенные, состоятельные, эффективные.
Интересный факт Проблемами оценок занимался и Абрахам Вальд (1902—1950), американский математик австрийского происхождения. Во время Второй мировой войны командование американских и британских ВВС поручило А. Вальду выяснить, какие части фюзеляжа самолета нужно защитить дополнительной броней. Вальд изучал самолеты, возвращавшиеся с боевых вылетов, отмечая места попаданий. В результате он рекомендовал установить дополнительную защиту на те участки (центральную и заднюю части фюзеляжа), где количество пробоин было минимальным. Рекомендация была основана на том выводе, что защищать нужно от тех попаданий, которых Вальд не видел, самолеты, которые их получили, не возвращались.
Приведем для иллюстрации оценок два примера.
Пример 5.1.
Оценка математического ожидания случайной величины а — среднее арифметическое.
является несмещенной, состоятельной и эффективной.
Оценка в виде медианы не является эффективной, так как дисперсия в этом случае.
Л _ _ (у*
в — раз больше дисперсии D (a), равной, как известно, D (a) = —,.
Пример 5.2.
Выборочная дисперсия случайной величины а
состоятельна, эффективна, но смещена. Смещение образовалось из-за того, что вместо неизвестного М (а) в формуле стоит оценка а.
Иногда формулы для вычисления оценок математического ожидания и дисперсии используют в рекуррентной форме:
где M (a)j, S?, S?^ — оценки математического ожидания и дисперсии, вычисленные по данным ?-й и (? — 1)-й реализаций имитационной модели.
Приведенные в табл. 5.1 формулы соответствуют нормальному закону распределения вероятностей исследуемой величины.
При исследовании случайного процесса X (t) весь временной интервал (0; Т) представляется последовательностью из М временных точек Ь, j = 1, …, М, в каждой из которых измеряется значение сечения Индекс? — номер реализации случайного процесса,? = 1, …, N.
Полученные данные образуют матрицу сечений размером MxW, что и является моделью исследуемого процесса (табл. 5.2).
Таблица 5.2
Результаты исследования случайного процесса
Реализация. | Временные точки. | |||||
П. | f2. | … | *} | … | ||
*l (t2). | X] (tj) | |||||
X2(tl). | *2(t2). | *2 ftp. | хг (Тм) | |||
i | X,(t2). | X,(tj). | x,(tM) | |||
N | XN(tj). | xN(t2). | %(tj). | xw(tM). | ||
Совокупность сечений в каждой временной точке tj (столбец матрицы) представляет собой значения случайной величины, в общем случае со своими законами распределения, математическими ожиданиями, дисперсиями:
При решении практических задач последовательности этих оценок математических ожиданий и дисперсий, определенных в точках ta, …, tM, достаточно полно представляют моделируемый случайный процесс. Оценки математических ожиданий x (t;)и дисперсий S^.-, можно аппроксимировать подходящими кривыми в предположении непрерывности процесса.
Иногда исследователя интересует связь сечений случайного процесса между собой. Степень зависимости между сечениями определяет автокорреляционная функция. Оценка ее имеет вид.
где x,(tfc) и x,(ts) — значения сечений в точках tk и ts соответственно i-й реализации; x (tfc) и x (ts) — оценки математических ожиданий совокупности сечений в точках tk и ts соответственно.
Данные расчета значений автокорреляционной функции Kx(tk, ts), к = 1,…, М, s = 1,…, М, помещают в таблицу, которая и является табличным определением ее. В случае необходимости данные таблицы могут быть представлены подходящей аппроксимирующей кривой.
Пример таблицы значений Kx{tk, ts) для случайного процесса, определенного пятью сечениями (М = 5), показан в табл. 5.3.
Таблица 5.3
Значения автокорреляционной функции
Временные точки. | |||||
t. | h | f2. | f3. | f4. | ts |
fi. | Kxtti.t i). | Kxkuh) | Kxiti, t3) | ^x (fl>f4). | Exists) |
f2. | Kx (^2 >). | Kxit2, t3) | ^х ((2>П). | Ex (^2.^5). | |
h | K-xih'h) | Kx (t3, t$) | ^х ({з>П). | Кх (Н>(5). | |
и | ^x (f4>fз). | ^х ({4>П). | Exists) | ||
h | Exits, ti) | ^x (f5>f2). | ^x (fS>f3). | ^х (Г5>П). | Exits, ts) |
Очевидно, что рассчитывать все значения Kx(tk, ts) для заполнения таблицы (в данном примере их 25) не надо, так как значения Кх при tk = ts (северо-западная диагональ) представляют собой значения соответствующих дисперсий. И Kx(tk>ts) = Kx(ts>tk), что исключает необходимость расчета половины оставшихся значений коэффициентов автокорреляционной функции, расположенных выше или ниже упомянутой диагонали.