Задачи и упражнения

• 4.1. <3 для функции cp: X —> Y конечных множеств верно:
  • а) если ф сбалансирована, то I Y| делит х;
  • б) если X = Xj х Х₂ —> У, где 1 < Х^ < Х₂1 < I У| = 17, то функция ф не сбалансирована.
• 4.2. <1 для функции ф: X, х … х Х_т —> У конечных множеств верно:
  • а) если и порядки множеств Xj,…, Х_т попарно различны, то ф биективна не более, чем по одной переменной;
  • б) если I У| ф |X_f-1, i е {1,…, т}, то ф не биективна по i-й переменной;
  • в) если |х,| >…> X_r > Y > X_r+i >…> Х_т, где г< т, то по каким переменным ф может быть сюръективна, инъективиа?
• 4.3. Сколько различных подстановок степени 5 имеют не менее трех неподвижных элементов? Сколько среди них инволюций?
• 4.4. <] множество всех преобразований (подстановок) множествах, относительно которых элемента из X неподвижный, образует полугруппу (группу).
• 4.5. Сколько имеется различных преобразований «-множества, у которых ранг равен п - 1 ?
• 4.6. <1 i (g) < i (g) при t > 1, где i (g) — число неподвижных элементов подстановки g множества X.
• 4.7. Коммутативно ли произведение подстановок? Постройте пример.
• 4.8. Сколько имеется различных подстановок множества: Х₈, У₈?
• 4.9. Определите дефект преобразования g множества матриц порядка 2 над нолем {0,1}:
  • (о о
  • *-lo tj^;

» Го о.

⁶> «-ll о) Го 01.

• в) П" о)
• 4.10. Если а~^{Ь е Я для любых a, be Я, то Я — подгруппа.
• 4.11. Если Я — подгруппа группы G, то бинарное отношение R_H на G:a, be R_l{ a~^lb е Я есть отношение эквивалентности.
• 4.12. <1 лишь один смежный класс группы по собственной подгруппе является подгруппой.
• 4.13. <] в конечной группе: a) orda = order¹; б) ordab = ordba.
• 4.14. <] группа простого порядка — циклическая.
• 4.15. <1 при любом п имеется циклическая группа порядка п.
• 4.16. Какого порядка группу порождает подстановка циклического сдвига 77 Сколько в ней примитивных элементов? Каков порядок подгруппы (Т^п), 1 < m < п?
• 4.17. <] подстановка п есть инволюция <=" п есть произведение независимых транс-

позиций.

• 4.18. Для мультипликативной полугруппы Z₁₅ определите множество идемпотентов и типы максимальных циклических подполугрупп.
• 4.19. <1 если элементg полугруппы имеет тип (d, п) и g³ = g^^v, то 8 > d и п делит v.
• 4.20. <1 если элемент g полугруппы необратим, то подполугруппа (g) не является моноидом.
• 4.21. Биективно ли преобразование g множества V_G, если любой вектор веса 3 преобразуется в вектор веса 1 или 5?
• 4.22. Какова цикловая структура подстановки g^k_y если g — п.ц. подстановка множества V" ?
• 4.23. <1 если g — элемент группы, то в ряду g, g²,…, g',… первым повторится элемент g.
• 4.24. <1 любой элемент поля GF (p^rl) имеет в этом ноле единственный корень р-й степени.
• 4.25. Определите порядок двоичного многочлена X³ ® X © 1 и порядок ноля его разложения.
• 4.26. Для р = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 найдите наименьшее положительное число, порождающее группу F_/;*, и определите, сколько среди чисел 1, 2, …, р — 1 имеется образующих.
• 4.27. Сколько элементов в наименьшем расширении поля F₅, содержащем все корни многочленов х² + х + 1 и х³ + х + 1.
• 4.28. Для каждого d < 6 найти число унитарных неприводимых многочленов степени d:
  • а) над F₂ и построить их список;
  • б) над F₃ и для d < 3 построить их список.
• 4.29. Найдите кратные корни многочлена х⁴ — 2л:³ — х² + 2х+ 1.
• 4.30. <3 простое поле F_/; — поле разложения полинома ля-лг, найдите каноническое разложение полинома л/^; — х.
• 4.31. <] для любого простого р многочлен х^п — р неприводим над Q.
• 4.32. <3 области транзитивности группы подстановок (g) совпадают с циклами подстановки g.
• 4.33. Опишите граф преобразования g ранга п- 1, где ge П".
• 4.34. Является ли 3-транзитивной группа подстановок степени 26, порядок которой равен 25 000?
• 4.35. <1 р (а_у b) = р (а', b') для любых а_у Ь_у а', b' е Х_у гдер (а, Ь) — число подстановок множества X в транзитивной группе G со свойством g (a) = b.

• 4.36. <1 I Stj (S") I = (n — 1)! для i = 1,…, n.
• 4.37. Определите тип преобразования g множества V₃ и циклическую полугруппу :

'о 1 Г а) g= 1 10;

I¹ 0 lj.

" 0 0 Г б) g= 1 0 0 .

I^{1 0} К

• 4.38. Являются ли сопряженными элементы g и g³:
  • а) в группе (g) порядка 21;
  • б) в группе (g) порядка 20?
• 4.39. Сопряжена ли в S" какая-либо подстановкаgс тождественной подстановкой?
• 4.40. Являются ли G-эквивалентными, где G = S (V_n), функции V" —" Z:
  • а) /=x_t + х₂ +… + х_п и |/ = х_х + 2х₂ + … + пх_п
  • б) / = Xj + … + X_w И f = -Xj -… — х"?
• 4.41. Биективно ли преобразование g (x) множества где g (x) = х 0 Т (х) и Т (х) = (х₂,…, х_/;, Xj) для х = (xj,…, х_й_|, х_и) е К,. Определите неподвижные точки преобразования g (x).