Методика изучения комплексных чисел в классах с углубленным изучением математики

Сделаем далее ряд замечаний о методике изучения комплексных чисел с учащимися, выбравшими естественно-математический профиль обучения.

Из истории методики математики известно, что данная тема периодически включалась в программу по математике базовой школы или исключалась из нее, переносилась на факультативные занятия. Причины обращения к этой теме состоят в том, что ряд фактов элементарной математики связан с комплексными числами (тригонометрические формулы кратных аргументов, например); идея расширения числовых множеств получает логическое завершение; без комплексных чисел неубедительно выглядит в глазах школьника основная теорема алгебры. Кроме того, общеизвестно большое прикладное значение теории функций комплексной переменной (в аэродинамике, например), что особенно важно для тех учеников, чье дальнейшее обучение и профессиональная деятельность будут связаны с приложениями математики.

Существуют различные подходы к введению понятия комплексного числа. Первый: комплексное число — упорядоченная пара действительных чисел, которой на плоскости соответствует точка. Второй: символ вида а + b-i, где а и b — действительные числа. Третий: вектор, соединяющий точку плоскости с началом координат и характеризующийся длиной и углом. В различное время в отечественной школе присутствовали первый и второй подходы. Второй можно признать неудачным, поскольку смысл символа непонятен, неясно, что означает b • г, какой смысл вкладывается в знак сложения, соединяющий действительное число и b i. Таким образом, предпочтительным следует признать первый подход.

Содержание учебного материала темы традиционно: определение комплексного числа, действия с комплексными числами, тригонометрическая форма комплексного числа и различные приложения.

Сформулируем рекомендации к изучению данной темы.

Понятие комплексного числа следует ввести как пару действительных чисел, дав геометрическую интерпретацию, что сделает естественным появление мнимых чисел и восприятие действительного числа как комплексного, на этой основе вводятся аргумент и модуль комплексного числа, появляется мнимая единица. После этого вводятся действия, и появляется алгебраическая форма комплексного числа, далее используется именно алгебраическая форма при введении сопряженных чисел, действий вычитания, деления, преобразовании выражений. Последний блок теоретического материала: тригонометрическая форма комплексного числа, формула Муавра, извлечение корней. В обзорном плане с понятием комплексного числа следует познакомить и школьников, изучающих математику на базовом уровне, например при изучении действительных чисел, иллюстрируя идею расширения числовых множеств.