Анализ связанной группы решений в условиях частичной неопределенности

Если при принятии решения ЛИР известны вероятности Р} того, что реальная ситуация может развиваться по варианту ], то говорят, что Л ПР находится в условиях частичной неопределенности. В этом случае можно руководствоваться одним из следующих критериев (правил).

Критерий (правило) максимизации среднего ожидаемого дохода

Этот критерий называется также критерием максимума среднего выигрыша. Если известны вероятности/^ вариантов развития реальной ситуации, то доход, получаемый при решении /, является случайной величиной<2, с рядом распределения.

Математическое ожидание М[0,] случайной величины (), и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также (}:

Для каждого /-го варианта решения рассчитываются величины ();, и в соответствии с рассматриваемым критерием выбирается вариант, для которого достигается.

Пример 9.6. Пусть для исходных данных примера 9.1 известны вероятности развития реальной ситуации по каждому из четырех вариантов, образующих полную группу событий: р ~ = ½, р2 = 1/6, рз = 1/6, рл = 1/6. Выясните, при каком варианте решения достигается наибольший средний доход и какова величина этого дохода.

Решение. Найдсм_лля каждого 1-го варианта решения средний ожидаемый доход: «2, = (½)o 5 + (1/6)o 2 + (1/6)o 8 + (1/6)o 4 = = 29/6, (22 = 25/6, <2з = 7, (¿4 = 17/6. Максимальный средний ожидаемый доход равен 7 и соответствует третьему решению.

Правило минимизации среднего ожидаемого риска (другое название — критерий минимума среднего проигрыша).

В тех же условиях, что и в предыдущем случае, риск ЛПР при выборе 1-го решения является случайной величиной с рядом распределения.

Математическое ожидание М[/?,| и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также/?:

Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск:

Пример 9.7. Исходные данные те же, что и в примере 9.1. Определите, при каком варианте решения достигается наименьший средний ожидаемый риск, и найдите величин)' минимального среднего ожидаемого риска (проигрыша).

Решение. Для каждою 1-го варианта решения определим величину среднего ожидаемого риска. На основе заданной матрицы риска Я_ найдем: Д, = (½)-3 + (1/6)-3 + (1/6)-0 + (1/6)-8 = = 20/6, Я2 = 4,/?3 = 7/6,7?4 = 32/6.

Следовательно, минимальный средний ожидаемый риск 7/6 соответствует третьему решению пни Д, =Я, = 7/6.

Замечание. Когда говорят о среднем ожидаемом доходе (выигрыше) или о среднем ожидаемом риске (проигрыше), то подразумевают возможность многократного повторения процесса принятия решения по описанной схеме или фактическое неоднократное повторение такого процесса в прошлом. Условность данного предположения заключается в том, что реально требуемого количества таких повторений может и не быть.

Критерий (правило) Лапласа равновозможности (безразличия)

Этот критерий непосредственно не относится к случаю частичной неопределенности, и его применяют в условиях полной неопределенности. Однако здесь предполагается, что все состояния среды (все варианты реальной ситуации) равновероятны — отсюда и название критерия. Тогда описанные выше схемы расчета можно применить, считая вероятности р-; одинаковыми для всех вариантов реальной ситуации и равными 1/п. Так, при использовании критерия максимизации среднего ожидаемого дохода выбирается решение, при котором достигается шах О, = шах-? 0″. А в соответствии с критерием минимизации среднего ожидаемого риска выдирается вариант решения, для которого.

— I «.

обеспечивается min R, = min — X >'ц-

i i nj-i 1

Пример 9.8. Используя критерий Лапласа равновозможности для исходных данных примера 9.1, выберите наилучший вариант решения на основе: а) правила максимизации среднего ожидаемого дохода; б) правила минимизации среднего ожидаемого риска.

Решение: а) с учетом равновероятности вариантов реальной ситуации величины среднего ожидаемого дохода для каждого из вариантов решения составляют Q, =(5 + 2 + 8 + 4):4 — 19/4, (¿2 = 21/4, (2з = 26/4, Q4 = 15/4. Следовательно, наилучшим вариантом решения будет третий, максимальный средний ожидаемый доход составит 26/4;

б) для каждого варианта решения рассчитаем величины среднего ожидаемого риска на основе матрицы рисков с учетом равновероятности вариантов ситуации: Rt = (3 + 3 + 0 + 8): 4 = = 14/4, R2 = 3, R3 = 7/4,/?4 = 18/4. Отсюда следует, что наилучшим будет третий вариант, и при этом минимальный средний ожидаемый риск составит 7/4.

Критерий (правило) Лапласа максимума средневзвешенного выигрыша

По данному критерию выбирается вариант решения, при котором для платежной матрицы достигается максимум выражения Ц = UPfly, где Р-, — вероятность реализации j-й ситуации; q^ - значение выигрыша при реализации i-ro решения при j-й ситуации:

I = max^Pjqij. ' j

Таким образом, этот критерий рекомендует руководствоваться тем результатом, который обеспечивает средний максимальный выигрыш. Если вероятности реализации каждой у-й ситуации Pj заранее неизвестны, то в частном случае их можно считать равными между собой: Pj = 1/и, где п —число возможных ситуаций по платежной матрице.

На практике ситуации, в которых вероятности реализации каждой j-н ситуации Р, априорно (заранее) известны — крайне редки. Но и ситуации, в которых о возможностях реализации той или иной у-й ситуации заранее неизвестно ничего — также крайне редки. Чаще всего о возможностях реализации /ситуаций известна лишь некоторая информация, по которой можно провести ранжирование этих ситуаций, установив порядок их ожидаемой очередности. В этом случае вероятность реализации каждой из ] ситуаций определяется выражением.

где — номер ранга у'-й ситуации; п — число возможных ситуаций по платежной матрице.

Для приведенной в рассмотренном примере платежной матрицы выберем наилучший вариант решения на основе критерия Лапласа, считая, что наибольшие шансы на реализацию имеет третья ситуация и далее, в порядке очередностивторая, четвертая и первая, т. е. к = 4, ¿2 = 2, к% = 1, ?4 = 3.

Рассматривая платежную матрицу (матрицу последствий) <2 по строкам, для каждого / вычисляем значения Ц = = предварительно вычистив значения Ру Например,.

Вычисляем аналогично Р2 = 0,3, = 0,4, Р4 = 0,2. Тогда ¿1 = 0,1 o 5 + 0,3 o 2 + 0,4 o 8 + 0,2 o 4 = 5,1; аналогично находим ¿2 = 5,1; ¿3 = 5,5; ¿4= 3,7. Наибольшим является ¿3 = 5,5. Следовательно, критерий Лапласа при указанном ранжировании/ ситуаций рекомендует выбрать второй вариант (г = 3).