Переходные процессы в системах автоматического регулирования

Переходные процессы в системе могут быть найдены с помощью обратного преобразования Лапласа и Карсона.

Если F (s) есть карсоново изображение функции f (t), F (s) = L[/(/)], то сам входной сигнал (оригинал).

где с — абсцисса сходимости.

Примечание. Преобразование Лапласа-Карсона применимо, если /(/) = О,.

• ?<0и если можно выбрать такое положительное число с, чтобы существовал
• 00

интеграл J/(t)? e~^c'dl. Если интеграл существует для всех с < с_а, то с₀ называ;

стся абсциссой абсолютной сходимости функции /(/).

Предположим, что звено имеет входное воздействие /:

Тогда /(У) известно. По прямому преобразованию Карсона находится F (s), а затем изображение выходного сигнала X (s) = W (s)F (s). Предположим, что это изображение запишется в виде двух полиномов: M (s)

ЛХ?) = ——.Порядок полинома N (s) равен л, больше или равен.

N (s)

т — порядку полинома M (s).

Рис. 1.22. Пример преобразования структурной схемы

Для нахождения оригинала х (() нужно брать интеграл, что представляет большие трудности. Для дробно-рациональных функций формула (1.70) переходит в формулы разложения Хевисайда. Для наиболее характерного случая (для случая, когда N (s) имеет простые, т. е. отличные от нуля, и различные корни) эта формула записывается:

где N'(s_k) — — I; М₀ и N₀ — полиномы M (s) и N (s), если вместо s

У ds J_s,_st

подставить ноль; s* - корни уравнения N (s) = 0; s^t — функция времени. Число корней равно п, т. е. порядку полинома N (s).

Пример. Требуется найти кривую переходного процесса ЭМУ поперечного поля, если на вход подастся скачкообразное напряжение U_y = 5 В, коэффициент усиления Аэму = 10, постоянная времени цепи управления Т_у = 0,2 с, короткозамкнутой цепи — Т_к3 = 0,5 с. Требуется найти ЭДС продольной цепи в функции от времени — Ed (t).

Рис. 1.23. Кривая переходного процесса ЭМУ поперечного поля

Исходное выражение: (T_ts + 1) (Т_кэ?+ 1) Д/л') = K',_m-U_y(s): изображение по Карсону ступенчатой функции U_y(s) = 5.

Изображение выходной величины E_c/(s) по Карсону:

Находим корни s* полинома N (s) при N (s) = 0: Находим производную N'(s): N'(s) = 0,2s + 0,7.

Для определения оригинала функции, т. е. уравнения кривой переходного процесса E^t), воспользуемся формулой (1.71):

Графически уравнение кривой переходного процесса изображено на рис. 1.23.

За время переходного процесса п_Р принимается время, когда выходная величина достигла 95% от установившегося значения.