Математическое развитие младших школьников

Вопросы для обсуждения.

• 1. Что такое математическое развитие? Каковы его отличительные характеристики как результата?
• 2. Почему Л. И. Маркушевич утверждал, что решение достаточно большого количества математических задач не обязательно ведет к математическому развитию?
• 3. Какова природа математических объектов?
• 4. Каково определение математического развития?
• 5. Что такое смысл и значение знака, являющегося именем математического объекта?
• 6. Как выявить смысл математического объекта?
• 7. Что такое обучение «от знака к смыслу»?
• 8. Что такое обучение «от смысла к знаку»?
• 9. Какие этапы можно выделить в процессе формирования понятийного образа математического объекта?

Математическое развитие выдвигается в качестве одной из целей обучения математике ФГОС НОО. Математическое развитие можно рассматривать в двух аспектах: как результат и как процесс. Опираясь на работы известных педагогов-математиков В. А. Гусева, Б. В. Гнеденко, Л. Д. Кудрявцева, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина и других, математическое развитие как результат можно охарактеризовать следующими умениями:

• • использовать известные математические методы в качестве средства познания;
• • отличать достоверное от возможного, истинное от ложного;
• • выражать кратко и точно свою мысль;
• • опираться на полноту аргументации и классификации;
• • мыслить конкретно наглядными понятиями;
• • избегать незаконных обобщений и аналогий;
• • использовать простые и ясные научные конструкции.

Математическое развитие как процесс с позиций психологической теории деятельности А. Н. Леонтьева можно охарактеризовать как становление в сознании ребенка математического образа мира и своего «Я» в этом мире по мере овладения им математическим опытом.

В методико-математических и психолого-педагогических исследованиях понятия «математическое развитие», «математические способности», «математическое мышление», «математическое воспитание» нередко служат обозначением одного и того же процесса, в котором выделяются различные стороны. Так, А. Н. Колмогоров к математическим способностям относит: способность к преобразованию буквенных выражений или «вычислительные и алгоритмические способности»; «геометрическое воображение» или геометрическую интуицию; искусство последовательного правильно расчлененного логического рассуждения. В. А. Крутецкий, которому принадлежит самое значительное исследование математических способностей, выделил, в частности, способность к формализации математического материала, способность к абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм, способность к оперированию формальными структурами математических отношений и связей. Структура математических способностей, согласно В. А. Крутецкому, имеет вид:

• • получение математической информации;
• • переработка математической информации;
• • хранение математической информации;
• • общий синтетический компонент.

В качестве одного из необходимых параметров математических способностей Н. Г. Салмина выделяет способность к знаково-символической деятельности.

Утверждая необходимость математического развития в общем образовании, академик А. И. Маркушевич подчеркивал, что решение достаточного количества задач и усвоение некоторых фактов математической науки не гарантирует математическое развитие. Математические сущности, не имея эмпирического прообраза в мире вещей, возникают благодаря творческой активности человеческого сознания и существуют в форме ментальных понятийных образов. Чтобы стать предметом познания, понятийный образ репрезентируется некоторым знаком (словом, текстом), основное требование к которому — он должен быть понятен другим. Знаковая форма математического объекта не замещает собой никакой материальной вещи, которую можно было бы предъявить в качестве его значения.

С этих позиций математическое развитие есть развитие способности человека создавать понятийные образы математических объектов и оперировать ими в процессах решения познавательных задач. Логически возможны два способа формирования понятийного образа математического объекта в процессе обучения. Первый направляет познание «от знака к смыслу». Его суть в том, что смысл формируется в сознании учащегося в процессе оперирования знаками в соответствии с правилами математического языка. В этом случае собственно правила и являются предметом усвоения, степень овладения которыми один из показателей математического развития. Знаки дают возможность хранить понятия в «свернутом виде», уменьшают непродуктивную мыслительную активность, разгружают воображение и память. Оперирование знаками математического языка, согласно его синтаксическим правилам, нередко заменяет ряд умозаключений и в то же время требует определенной сообразительности, которая вырабатывается упражнениями.

При этом педагог сталкивается с проблемой преодоления «власти знака», с психологически закономерной тенденцией рассматривать знаковые формы как атрибут выражаемого ими содержания. Например, знак, обозначающий число, отождествляется с самим числом. Усвоение действий со знаками, как с наглядными материальными сущностями, оказывается, с одной стороны, более доступным младшему школьнику, а с другой — требует меньших усилий от педагога, в силу чего обучение «от знака к смыслу» нередко становится доминирующим. При такой направленности обучения изучение математики происходит на высоком уровне абстракции, а понятийный образ объекта формируется в сознании школьника независимо от целенаправленных усилий педагога и не обязательно адекватно его содержанию. Обучение «от знака к смыслу» ограничивает возможности применения математических методов к познанию окружающего мира. В начальной школе такая ограниченность выражается прежде всего в трудностях, испытываемых детьми при решении текстовых задач. Дело в том, что в процессе обучения «от знака к смыслу» отношения между числами, являясь отвлеченными образами реальных количественных отношений, остаются явно нераскрытыми и ставят ребенка перед необходимостью догадки, суть которой состоит в осуществлении перехода от реальных отношений между предметами к абстрактным отношениям между знаками.

Другая направленность обучения математике противоположна предшествующей, она может быть названа обучением «от смысла к знаку». В этом случае знаком обозначается уже сформированный в сознании ученика понятийный образ математического объекта, его выявленные смысл и значение.

Согласно логической семантике, основы которой заложил выдающийся логик и математик Г. Фреге (1848—1925), знак обозначает (именует) объект (значение знака) и выражает его смысл, смысл знака однозначно задает обозначаемый объект. Так как одно и то же значение могут иметь различные знаки (в самом общем понимании — тексты на различных языках), то смысл есть инвариант того, что есть у всех текстов, являющихся правильными переводами один другого¹.

Таким образом, смысл, однозначно задающий математический объект, может быть выявлен в процессе переводов исходного текста на другие языки (язык понимается в широком смысле). Процесс перевода, являясь неформализуемым актом, требует логического и синтаксического анализа данного сообщения и поиска средств выражения его содержания на другом языке. При таком подходе меняется прежде всего стратегия решения текстовой задачи: она регламентируется созданием понятийного образа математического объекта, неявно заданного текстом.

Психолого-педагогические исследования показывают, что образы, возникающие в условиях понятийного познания, нельзя рассматривать всего лишь в качестве чувственной основы понятийной мысли, некоторого наглядного ее аккомпанемента. Так, как уже сказано выше, М. А. Холодная считает, что понятийный образ имеет сложную иерархически организованную структуру, включающую когнитивные компоненты разного уровня обобщенности: словесно-речевой, визуально-пространственный, чувственно-сенсорный, операционально-логический^[1][2] (см. параграф 1.4).

В понятийном образе отражены инварианты как чувственно-конкретного, так и предметно-смыслового опыта человека, которые не всегда могут быть вербализованы. Представления (зрительные, слуховые, тактильные и др.), выполняя функцию поддержки математической мысли, содержатся внутри понятийной структуры как ее неотъемлемая часть. Когнитивные компоненты понятийного образа формируются в процессе переводов математической информации.

Известно, что доминирующим в познавательной деятельности детей младшего школьного возраста является правое полушарие мозга, «отвечающее», по преимуществу, за образное, интуитивное, визуальное мышление, играющее ведущую роль в процессах понимания и творчества.

Включение наглядных средств «материализации» математического объекта в процесс формирования понятийного образа осуществляется при переводе вербального текста на язык знаков-икон, представляющих описываемую ситуацию в виде некоторой предметной картинки. Перевод на язык знаков-индексов наглядно и обобщенно представляет собственно математическую информацию, сохраняя, во-первых, связи с исходной ситуацией, а во-вторых, независимо от тех характеристик ситуации, которые не являются значимыми для поиска решения. Такой перевод является важнейшим шагом построения визуального образа объекта. Систему знаков-индексов, позволяющих наглядно представить математический объект адекватно его объективному содержанию, естественно назвать языком визуальной семантикой.

Приведем пример формирования понятийного образа математического объекта, задаваемого текстом на повседневном языке: «Из пункта Л вышел пешеход, а через 2 ч после его выхода из пункта А в том же направлении выехал автомобиль, который догнал пешехода через 20 мин».

Такие слова, как «догнал», не имеют аналога в языке арифметики. Поэтому первый шаг формирования понятийного образа состоит в его замене на текст, который может быть представлен языком арифметики: «Из пункта А вышел пешеход, через 2 ч после его выхода из пункта А в том же направлении выехал автомобиль. Пешеход и автомобиль оказались на одном и том же расстоянии от пункта А через 20 мин после выезда автомобиля».

Описываемая ситуация представлена на рис. 4.3 знаками-иконами.

Рис. 43. Иллюстрация к формированию понятийного образа математического объекта Подчеркнем, что на рисунке изображены пути, пройденные пешеходом и автомобилем, и положения обоих движущихся объектов, изменяющиеся со временем. Но собственно математическая информация, т. е. информация о времени движения, здесь не представлена. Математический объект, задаваемый данным текстом, — это время движения пешехода и автомобиля и связи между длительностями соответствующих процессов. Перевод на язык знаков-индексов позволяет представить данные величины и отношения между ними. Требуемый перевод осуществляется в соответствии с объективным содержанием таких понятий, как число — мера величины и операции над числами. Значит, необходимым условием перевода является владение этими понятиями и способами их кодирования. На рис. 4.4 приведен результат такого перевода.

Рис. 4.4. Результат перевода на язык знаков-индексов Рисунок показывает, что время движения автомобиля 20 мин, время движения пешехода — 2 ч 20 мин, а пройденное ими расстояние одно и то же. Показателем сформированное™ понятийного образа объекта, заданного исходным сообщением, может служить выполнение задания: «Поставьте вопрос и решите задачу».

Перевод на язык знаков-индексов принципиально неоднозначен (в процессе перевода часть информации теряется). Если осуществить обратный перевод на повседневный язык, то можно получить, например, следующее сообщение: «Когда одна группа туристов уже 2 ч готовила кашу из крупы, другая группа только приступила к приготовлению каши из консервов. Через 20 мин после этого туристы обеих групп приступили к завтраку».

Покажем, что обращение к визуальной семантике существенным образом помогает найти решение текстовой задачи. Например: «Ваня и Петя прочитали одну и ту же книгу. Ваня читал всю книгу с одной и той же скоростью, а Петя первую половину книги читал в два раза медленнее Вани, а вторую половину — в три раза быстрее Вани. Кто прочитал книгу быстрее, Ваня или Петя?».

Опуская перекодирование текста на язык знаков-икон, сразу отметим, что математический объект, описываемый текстом, — это время чтения книги каждым из детей. Именно эта непрерывная величина и является предметом кодирования (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Кодирование для задачи о скорости чтения Очевидно, что всю книгу Ваня прочитал за то же время, за которое Петя прочитал только ее первую половину, а потому книгу быстрее прочитал Ваня независимо от того, как быстро читал Петя ее вторую половину.

Приведем пример, показывающий значение визуальной семантики для формирования образа кратного отношения (рис. 4.6). Математическая информация задана текстом «На одной полке — 3 книги, а на другой — 12».

Рис. 4.6. Пример значения визуальной семантики.

А — множество книг на первой полке, его мощность 3; В — множество книг па второй полке, его мощность 12; С — множество подмножеств В, каждое из которых равночисленно А; С — это множество подмножеств, численность которых равна численности А

Численность С показывает, сколько раз по 3 содержится в 12, что можно выразить так: численность В в 3 раза больше численности Л, или численность Л в 3 раза меньше численности В. Это число, на которое нужно умножить 3, чтобы получить 12. Согласно определению деления оно является частным 12/3.

Таким образом, каждое из двух направлений обучения математике «от знака к смыслу» и «от смысла к знаку» является необходимой гранью математического развития школьников. При этом особое значение для младшего школьника имеет обучение от «смысла к знаку», обеспечивающее создание понятийных образов математических объектов, и формирование умений оперировать ими в процессах решения познавательных задач. Перевод наглядно представленной информации на собственно математический язык замыкает когнитивные компоненты понятийного образа в единую структуру.

Такой подход выявляет гуманитарный потенциал математического образования, дает учащимся возможность осознать математический язык как речь особого свойства, частный случай языковой системы с помощью воображения, памяти, определенной идеи в процессах абстрагирования, обобщения, идеализации.

Деятельность детей по переводу информации на язык знаков-икон и знаков-индексов с процессуальной точки зрения образует когнитивновизуальный этап создания понятийного образа математического объекта. Эта деятельность должна быть дополнена знаково-визуальным этаном, суть которого состоит в представлении математической информации знаками математического языка. Овладение учащимися способами оперирования понятийными образами составляет процессуальный этан. Расширение содержания изучаемого понятия, установление его связей с другими понятиями происходит на обогащающем этапе.

В то же время во всякий конкретный момент обучения понятийный образ математического объекта остается незавершенным, открытым для дальнейшего расширения и углубления его содержания в процессе освоения учащимся нового математического опыта. При этом ранее сформированные компоненты понятийного образа не подлежат изменению, они составляют ядро, обеспечивающее осмысление вновь поступающей информации.

Задания для самостоятельной работы

• 1. Подготовьте выступление на тему «Формирование умений осуществлять взаимно обратимые переводы математической информации в процессе изучения темы „Кратное сравнение величин“».
• 2. Подготовьте сообщения по следующим темам.
• • Формирование у младших школьников понятийного образа сложения.
• • Математическое развитие младших школьников в процессе формирования понятия «величина».
• 3. Раскройте значение континуально-непрерывных средств описания математической информации для математического развития младших школьников. Представьте презентацию.
• 4. Раскройте суть обучения «от знака к смыслу». Проиллюстрируйте примерами из учебника М. И. Моро и др.
• 5. Раскройте суть обучения математике «от смысла к знаку» и его значение в математическом развитии младших школьников.
• 6. Разработайте организацию познавательной деятельности детей по формированию понятийного образа вычитания, неявно заданного следующим текстом: «В гараже стояло 10 машин, когда несколько машин уехало, осталось 6 машин».
• 7. Постройте диалог, побуждающий детей придумать рассказ о сложении по тексту на языке знаков-индексов.

8. По представленной картинке.

учитель предложил детям следующие вопросы.

• • Числовое значение какой величины неизвестно?
• • Числовые значения каких величин известны?
• • Что известно о массе сахара?
• • Какой рассказ можно составить по этой картинке?

Смысл какого понятия усваивается детьми при выполнении данного задания? Ответ обоснуйте.

• 9. Разработайте организацию познавательной деятельности детей, направленной на формирование понятийного образа сложения, неявно заданного текстом: «Когда из бочки взяли 20 кг меда, в ней осталось 37 кг. Сколько килограммов меда было в бочке сначала?»
• 10. Учитель спросил, о чем может рассказать картинка.

Какова познавательная цель этого задания?

11. Какое определение умножения лежит в основе выбора действия в следующей задаче: «В строительном наборе для детей кубики двух размеров, большие и маленькие. Кубики каждого размера четырех цветов. Сколько кубиков в наборе?».

Как осуществить перевод этого текста на язык знаков-индексов, чтобы выбор действия стал очевидным?

• 12. Постройте объяснение того, что следующие задачи решаются одинаково:
  • а) «Масса одного ящика яблок 20 кг. Сколько килограммов яблок в 3 таких ящиках?»;
  • б) «Объем одной канистры 20 л. Каков объем 3 таких канистр?». Предложите наглядное представление искомых объектов, раскрывающее смысл умножения на основе его определения для чисел — мер величины.
• 13. Постройте объяснение того, что отношение между числами «а больше b на 3» может быть выражено равенствами b + 3 = а, а-Ь = 3, а-3 = Ь. На какое наглядное представление этого отношения вы будете опираться?

• [1] Фреге Г. Логика и логическая семантика: сборник трудов. М.: АСПЕНТ ПРЕСС, 2000.С. 231.
• [2] Холодная М. А. Указ. соч. С. 121.