Оценка финансовых рисков с применением нормального распределения вероятностей

Если известен закон распределения случайной величины, то, в принципе, это дает возможность использовать ее в расчетах как известную, т. е. определять (с некоторой вероятностью) на основе математических действий интересующие нас данные (например, определить степень предпринимательского риска) по значениям среднего и дисперсии. В расчетах такого рода особое место занимает нормальный закон распределения случайной величины, часто называемый законом распределения Гаусса.

Нормальное распределение характеризуется тем, что крайние значения признака (случайной величины) в нем встречаются достаточно редко, а значения, близкие к средней величине, — достаточно часто. Свое название такое распределение получило потому, что оно очень часто встречалось в естественнонаучных исследованиях и казалось «нормой» всякого массового случайного проявления признаков.

Функция плотности вероятности нормального распределения определяется формулой.

для всех значений х отоо до +<�". Можно показать, что численные параметры цис, входящие в выражение (2.11), совпадают с генеральным средним и г енеральным среднеквадратическим отклонениями случайной величины X. Следовательно, параметр ц определяет положение центра рассеивания случайной величины, распределенной по нормальному закону, а параметр о характеризует меру ее рассеяния относительно центра.

Часто используют иную форму функции плотности вероятности, которую можно получить, если произвести замену переменных по формуле.

В этом случае M{U} = 0, a a²(U)= 1 и интегральная функция распределения имеет следующий вид:

Функция Ф (U) не зависит от конкретных значений циои, следовательно, может быть использована для вычисления вероятности любых случайных величин, подчиняющихся нормальному закону. Для Ф (U) составлены таблицы, имеющиеся практически в любом учебнике по теории вероятностей (приложение 1).

В большинстве учебников по финансовому менеджменту нормальное распределение рекомендуют использовать для оценки рисков и доходности проводимых финансовых операций.

Действительно, если финансовому менеджеру известно, что используемые для анализа экономические данные подчиняются нормальному закону распределения, то знание математического ожидания и дисперсии дает ему основание осуществить прогноз развития рабочей ситуации. Проиллюстрируем это на примере оценки доходности акций.

Пусть известно, что среднее значение доходности акций фирмы Б равно 15% при среднеквадратическом отклонении а = 3,87%.

Тогда, если предположение о нормальном законе распределения доходности выполняется, то с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что прогнозируемая доходность по акциям фирмы будет лежать в диапазоне 15 ± 11,61 %. Дальнейшие расчеты покажут, что вероятность попадания доходности в интервал 15 ± 7,74% (или в интервал ± 2а) составит приблизительно 0,95 или 95%. Этот результат можно обобщить.

Если некий финансовый показатель, являясь случайной величиной, подчиняется нормальному закону, то можно утверждать, что с вероятностью 0,95 результат любого единичного его наблюдения окажется лежащим в пределах ± 2а от его математического ожидания. Можно также показать, что вероятность попадания единичного наблюдения в интервал ± За равна 0,997. Поэтому чаще всего величину За считают максимально допустимой ошибкой и отбрасывают результаты, для которых величина отклонения от среднего превышает это значение («правило 3-х сигм»).

Математическое ожидание и дисперсия указывают, где «в среднем» располагаются значения изучаемого экономического показателя, насколько эти значения изменчивы и наблюдается ли преимущественное появление определенных значений показателя.

Нормальное распределение, как уже отмечалось, обладает симметрией.

В тех случаях, когда какие-нибудь причины благоприятствуют более частому появлению значений случайной величины, которые выше или, наоборот, ниже среднего (а в финансовых операциях таких ситуаций большинство), образуются асимметричные распределения. При левосторонней, или положительной, асимметрии в распределении чаще встречаются более низкие значения признака, а при правосторонней, или отрицательной, — более высокие. Таким образом, чтобы на практике применить нормальное распределение для оценки финансовых рисков, необходимо хотя бы доказать симметричность имеющихся распределений (выборочных данных).

Показатель асимметрии А для выборки значений лг₍ случайной величины X вычисляется по следующей формуле:

где о — выборочное среднеквадратическое, рассчитываемое по формуле, аналогичной (2.9).

Для симметричных распределений А = 0.

Следует отметить, что в финансовых операциях с торгами симметричность распределения стоимостей сделок — весьма редкое событие. Поэтому проверка данных путем расчета коэффициента асимметрии — непременное условие успешного прогноза результатов намечаемой сделки с помощью нормального распределения.

В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преимущественному появлению средних или близких к средним значений, образуется распределение с одним максимумом, или, как говорят математики, положительным эксцессом. Если же в распределении преобладают крайние значения, причем одновременно и более низкие, и более высокие, то такое распределение характеризуется отрицательным эксцессом и в центре распределения можег образоваться впадина, превращающая его в двухвершинное.

Показатель эксцесса Е определяется по следующей формуле:

В распределениях с нормальной выпуклостью Е — 0. Если же ретроспективные данные о результатах финансовых операций не позволяют выявить группирование изучаемого показателя только у одного центра, то при оценке риска от использования нормального распределения следует отказаться.