Моменты инерции. 
Теоретическая механика.

Определение 3. Момент инерции механической системы относительно оси s (осевой момент инерции) — это число /_л, равное сумме произведений масс точек системы на квадраты их расстояний И_к до этой оси (рис. 10.1):

Величина I_s служит мерой инертности системы в её вращательном движении вокруг оси s.

Рис. 10.1.

Если ось s проходит через центр масс системы, то момент инерции I_s называют центральным осевым моментом инерции.

Моменты инерции относительно декартовых координатных осей удобно выражать через координаты (jc*, у_к, z_k) точек системы:

Определение 4. Центробежный момент инерции механической системы относительно осей ху — это число 1_ху, равное сумме произведений масс точек системы на их координаты х и у.

Аналогичным образом определяются I_xz и /^, т. е.:

Центробежные моменты характеризуют асимметрию распределения массы системы относительно декартовых осей Ox, Oy, Oz. Например, если массы точек системы равны и расположены симметрично относительно плоскости хОу, то l_xz— Iyz = 0 (проверьте в качестве упражнения).

В динамике твердого тела удобно использовать симметричную матрицу инерции тела, составленную из его моментов инерции:

Если оси Oxyz жестко связать с телом, то матрица I не будет меняться при его движении. Разумеется, вид матрицы I зависит от выбора направлений координатных осей и от положения начала О.

Определение 5. Главная ось инерции тела в точке О — это ось Ох, для которой центробежные моменты I_xy, I_xz равны нулю.

Главную ось инерции в центре масс С тела называют главной центральной осью инерции тела.

Известен следующий замечательный результат [1]: в любой точке О тела можно найти три взаимно перпендикулярные главные оси инерции OX, OY, OZ, для которых все центробежные моменты инерции тела равны нулю, и матрица инерции I принимает диагональный вид: