Определение функций формы линейного треугольного элемента

Пусть известна функция перемещений и (у, z) вдоль какой-либо оси. На рис. 23.3 показана поверхность перемещений, построенная перпендикулярно поверхности рассматриваемого плоского тела. Функции формы определяют способ аппроксимации искомой функции (в нашем случае поверхности перемещений).

Рис. 23.3. Аппроксимация поверхности перемещений плоскими треугольниками.

Разобьем тело на плоские треугольные элементы. Выделим один из элементов (на рисунке заштрихован). В узлах 1, 2, 3 элемента известны перемещения А, Д₂, Д₃. Требуется найти перемещение и (у, z) в некоторой произвольной точке между узлами.

Сначала определяют узловые перемещения. Следовательно, поверхности перемещений еще нет, а есть дискретный набор перемещений в узлах. Необходимо выбрать форму аппроксимации перемещений между узлами. Для этой цели и используются функции формы.

N (y, z).

Через три точки поверхности (А, Д₂, Д₃) однозначно можно провести только плоскость. Для построения криволинейной поверхности трех точек недостаточно и надо выбирать вид элемента с большим количеством узлов.

Итак, для треугольного элемента выбираем плоскость как вид аппроксимации поверхности перемещений. По уравнению (22.1) перемещение и в произвольной точке связано с узловыми перемещениями, А с помощью функций формы N.

Рассмотрим перемещение произвольной точки с координатами z и у вдоль оси zu_z = N|А, + N₂A₂ + 7V₃A₃.

Функции формы запишем как уравнение плоскости N = ау + bz = с. Значения коэффициентов а, b, с найдем из граничных условий. Для функции формы Nj в узле 1 Nj = 1, в узлах 2 и 3 >Vj = О, тогда

Решая эту систему уравнений, находим коэффициенты a_h b_h Cj Аналогично определяем коэффициенты для функций формы N₂ и N₃. В общем виде выражение для функций формы можно записать так:

Вывод: функция формы зависит только от координат узла элемента.

Для упорядочения расчетов примем правило нумерации узлов перемещений и функций формы.

Нумерация узлов элемента осуществляется против часовой стрелки. Начало нумерации (узел 1) — нижний левый (рис. 23.4). Горизонтальные перемещения (вдоль оси z) —нечетные, вертикальные перемещения (вдоль оси у) — четные.

Рис. 23.4. Примеры нумерации узлов и перемещений треугольного элемента.