Нелинейные системы автоматического управления

Особенности нелинейных систем и типы нелинейностей

Нелинейной называется система, среди элементов которой есть хотя бы один с нелинейной зависимостью между его выходным и входным сигналами. В такой системе в большинстве случаев процессы не могут быть исследованы методами линейной теории. Кроме того, при исследовании систем с нелинейными элементами не может быть использован принцип суперпозиции.

В практике встречаются автоматические системы, содержащие звенья, которые рассматриваются как элементы, обладающие несущественными нелинейностями. По отношению к ним можно применять методы линейной теории, если исследование динамики системы ограничено методами, основанными на линеаризации дифференциального уравнения в сравнительно небольшой окрестности наиболее характерных точек нелинейных характеристик звеньев. Однако создание большого класса систем связано с необходимостью использовать существенно нелинейные элементы в объектах и управляющих устройствах. Эти системы требуют специальных методов исследования.

Для нелинейных систем характерна работа в режимах, принципиально неосуществимых в линейной системе. К таким режимам относятся смена состояний равновесия в зависимости от начальных условий, автоколебания, дискретное изменение амплитуды сигналов, изменение частоты вынужденных колебаний, зависимость частоты автоколебаний от частоты внешнего воздействия, подавление слабого сигнала сильным.

В практике различают нелинейные элементы с гладкой нелинейной (рис. 11.1, я, б) и кусочно-линейной (рис. 11.1, в—и) характеристиками.

Все нелинейные характеристики могут быть разделены на однозначные (см. рис. 11.1, а, г, д, ж, з) и неоднозначные (см. рис.

11.1, б, в, е, и). Неоднозначная характеристика получается, если при увеличении входного сигнала выходная координата изменяется по одной зависимости, а при уменьшении входного сигнала — по другой.

Характеристика, показанная на рис. 11.1, г, имеет линейные зоны (ОЛ, ОЛ) и участки насыщения (АВ, А’В'). Она свойственна устройствам с ограниченным изменением выходной координаты.

Статическая характеристика описывается следующими уравнениями:

Характеристика, представленная на рис. 11.1, д, помимо линейной зоны и участка насыщения имеет зону нечувствительности (Од,). Такими характеристиками обладают системы с трением в исполнительном элементе.

В этом случае уравнения статической характеристики имеют следующий вид:

Характеристика, приведенная на рис. 11.1, е, имеет участок насыщения и отличается наличием зоны неоднозначности. Часто такие характеристики называют гистерезисными и типа люфт. К гистерезисным относится и характеристика, изображенная на рис. 11.1, б. Подобными характеристиками обладают устройства, имеющие зазор, трение и ограничение изменения выходной координаты.

Уравнения статической характеристики в этом случае имеют вид:

Характеристика, показанная на рис. 11.1, ж, называется релейной. Она имеет участок насыщения и свойственна идеальным двухпозиционным реле, серводвигателям с постоянной скоростью и т. д.

Статическая характеристика описывается следующим уравнением:

Характеристика, показанная на рис. 11.1, з, отличается от предыдущей наличием зоны нечувствительности и свойственна трехпозиционным реле с порогом срабатывания, серводвигателям с постоянной скоростью, имеющим межконтактное расстояние, а также другим устройствам, обладающим свойством «перекрытия».

В этом случае уравнения статической характеристики имеют следующий вид:

Характеристика, изображенная на рис. 11.1, и> также относится к группе релейных и имеет зону неоднозначности и участки насыщения. Такими характеристиками обладают элементы, имеющие зазор (люфт), сухое трение, гистерезис и т. п. Типичным элементом является двухпозиционное реле с гистерезисом. Уравнения статической характеристики в этом случае имеют следующий вид:

На участке -а < х_ах < а величина jt_Bblx принимает два значения (+Ь или -Ь) в зависимости от предшествовавших х_м. Условие скачка при переходе с нижней ветви на верхнюю выражается следующим образом: х_вх = а; х_ВЬ1Х = -b х_вх >0. При скачкообразном переходе с верхней ветви на нижнюю х_вх = -а х_вых = Ь х_ах < 0.

Характеристика, приведенная на рис. 11.1, в, свойственна трехпозиционному реле с гистерезисом. При переключении контактов в одном и другом направлении в соответствии со значением входной величины характеристики приобретают неоднозначность. Если переход от х_шх = 0 к х_вых = b происходит при х_вх = а_ъ а возврат — при х_вх = а_и то характеристика приобретает вид, изображенный в правом верхнем квадранте. Математически характеристика описывается следующим образом:

На участках д,< |х_вх| < а₂ величина х_ВЬ|Х принимает два значения: b или -Ь.