Наращение и дисконтирование по непрерывным процентам

Непрерывные проценты используются в случаях, когда вычисления необходимо производить за бесконечно малые промежутки времени. Они играют ключевую роль в ряде финансовых моделей, например в известной модели оценки опционов Блэка — Шоулза.

Проанализируем рост коэффициента наращения в формуле (6.17), исходя из допущения о возможности ежедневного, ежечасного, ежеминутного и даже ежесекундного начисления процентов, например по ставке 10%.

Обозначим множитель наращения через g, тогда v = [1 + (1 / т)] • т. Результаты соответствующих расчетов приведены в табл. 6.1.

Расчет зависимости множителя v от роста т

Таблица 6.1

Нетрудно заметить, что с переходом от ежедневного к ежечасному начислению процентов (т.е. при увеличении т в 24 раза), значение v увеличилось всего в 1,131, или на 0,13%; с переходом от ежечасного к ежеминутному начислению (при увеличении т в 60 раз) рост v составил около 1,6, или 0,006%. Разницу между ежеминутным и ежесекундным начислением можно заметить только в шестом знаке после занятой.

Таким образом, при бесконечном росте т величина v стремится к константе 2,7 182 818…, известной в математике как число е.

Будущая стоимость денег при непрерывном начислении равна.

где е — экспоненциальная константа (2,71 828…).

Ставка непрерывных процентов г_с может быть приведена к ставке сложных процентов rj и обратно. Соотношения эквивалентности имеют следующий вид:

Соответственно, современная стоимость денег при непрерывном начислении может быть определена как.

В дальнейшем по ходу изложения материала данного раздела оудут использоваться сложные проценты, техника исчисления которых является базой для анализа долгосрочных операций и возникающих в процессе их проведения денежных потоков.