Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

Закон (ряд) распределения дискретной случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Однако такой закон (ряд) распределения бывает трудно обозримым, не всегда удобным (и даже необходимым) для анализа. Рассмотрим, например, следующую задачу.

Пример 12.18. Известны законы распределения случайных величин X и Y — числа очков, выбиваемых первым и вторым стрелками.

X:

Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше. Рассматривая ряды распределения случайных величин X и Y, ответить на этот вопрос далеко нс просто из-за обилия числовых значений. К тому же у первого стрелка достаточно большие вероятности (например, больше 0,1) имеют крайние значения числа выбиваемых очков (X = 0; 1 и X = 9; 10), а у второго стрелка — промежуточные значения (У = 4; 5; 6) (см. многоугольники распределения вероятностей X и У на рис. 12.6).

Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее количество очков.

Таким средним значением случайной величины является ее математическое ожидание. Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей, когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша или, иначе, математическое ожидание выигрыша.

Рис. 12.6. Полигон распределения вероятностей в задаче о двух стрелках.

Определение 12.5. Математическим ожиданием, или средним значением, М (Х) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Пример 12.19. Вычислить М (Х) и М (У) в задаче о стрелках.

Решение. По формуле (12.19).

т.е. среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое.

Рассмотрим свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Постоянную величину С можно рассматривать как величину, принимающую значение С с вероятностью, равной единице. Поэтому М© = С • 1 = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т. е.

Так как случайная величина kX принимает значения kx_i (i = 1, 2,., п), то.

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т. е.

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

5. Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится (уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:

6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

Однако математическое ожидание не может в достаточной степени характеризовать случайную величину.

В задаче о стрелках мы убедились в том, что М (Х) = M (Y) = 5,36, т. е. среднее количество выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое. Но если у первого стрелка, как отмечено выше, значительные вероятности имеют крайние значения, сильно отличающиеся от среднего М (Х), то у второго, наоборот — значения, близкие к среднему M (Y) (см. рис. 12.6). Очевидно, лучше стреляет тот стрелок, у которого при равенстве средних значений числа выбитых очков меньше отклонения (разброс, вариация, рассеяние) этого числа относительно среднего значения.

В качестве такой характеристики рассматривается дисперсия случайной величины. Слово дисперсия означает «рассеяние».

Определение 12.6. Дисперсией D (X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:

или В качестве характеристики рассеяния нельзя брать математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания М (Х - а), ибо согласно свойству 6 математического ожидания эта величина равна нулю для любой случайной величины.

Если случайная величина X — дискретная с конечным числом значений, то.

Дисперсия D (X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину VD (X).

Пример 12.20. В задаче о стрелках вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение числа выбитых очков для каждого стрелка.

Решение. В примере 12.19 были вычислены М (Х) = 5,36 и М (У) = 5,36.

По формулам (12.24) и (12.25) получим:

Определение 12.7. Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) случайной величины X называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

Итак, при равенстве средних значений числа выбиваемых очков дисперсия (характеристика рассеяния относительно среднего значения) меньше у второго стрелка (D (X) > D (Y)). Поэтому ему для получения более высоких результатов стрельбы по сравнению с первым стрелком нужно лишь сместить «центр» распределения числа выбиваемых очков, т. е. увеличить М ( К), научившись лучше целиться в мишень.

Отметим свойства дисперсии случайной величины.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:

3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания

4. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсии:

Обращаем внимание на то, что дисперсия как суммы, так и разности независимых случайных величин X и У равна сумме их дисперсий, т. е.

Пример 12.21. По данным задачи о стрелках вычислить дисперсии случайных величин X, У, используя свойство 3.

Решение. Вначале найдем.

Теперь по формуле (12.27):

Аналогично D (Y) = 4,17.

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и другие числа, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.

Обращаем внимание на то, что сама величина X — случайная, а ее числовые характеристики являются величинами неслучайными, постоянными.

В теории вероятностей числовые характеристики играют большую роль. Часто удается решать вероятностные задачи, оперируя лишь числовыми характеристиками случайных величин. Применение вероятностных методов для решения практических задач в значительной мере определяется умением пользоваться числовыми характеристиками случайной величины, оставляя в стороне законы распределения.