Задачи обработки результатов моделирования

При обработке результатов машинного эксперимента с моделью М_м наиболее часто возникают следующие задачи: определение эмпирического закона распределения случайной величины, проверка однородности распределений, сравнение средних значений и дисперсий переменных, полученных в результате моделирования, и т. д. Эти задачи с точки зрения математической статистики являются типовыми задачами по проверке статистических гипотез.

Задача определения эмпирического закона распределения случайной величины наиболее общая из перечисленных, но для правильного решения требует большого числа реализаций N. В этом случае по результатам машинного эксперимента находят значения выборочного закона распределения Г_э(у) (или функции плотности /_э (у)) и выдвигают нулевую гипотезу Я₀, что полученное эмпирическое распределение согласуется с каким-либо теоретическим распределением. Проверяют эту гипотезу Н₀ с помощью статистических критериев согласия Колмогорова, Пирсона, Смирнова и т. д., причем необходимую в этом случае статистическую обработку результатов ведут по возможности в процессе моделирования системы? на ЭВМ.

Для принятия или опровержения гипотезы выбирают некоторую случайную величину С/, характеризующую степень расхождения теоретического и эмпирического распределения, связанную с недостаточностью статистического материала и другими случайными причинами. Закон распределения этой случайной величины зависит от закона распределения случайной величины г и числа реализаций N при статистическом моделировании системы ?. Если вероятность расхождения теоретического и эмпирического распределений Р{и_т^и} велика в понятиях применяемого критерия согласия, то проверяемая гипотеза о виде распределения Яр не опровергается. Выбор вида теоретического распределения Г (у) (или /(у)) проводится по графикам (гистограммам) ^(у) (или /,(у)), выведенным на печать или на экран дисплея.

Рассмотрим особенности использования при обработке результатов моделирования системы 5 на ЭВМ ряда критериев согласия [7, 11, 18, 21,25].

Критерий согласия Колмогорова. Основан на выборе в качестве меры расхождения I/ величины /*'(у)].

Из теоремы Колмогорова следует, что <5—.0 _Ч/Л^г при имеет функцию распределения.

Если вычисленное на основе экспериментальных данных значение <5 меньше, чем табличное значение при выбранном уровне значимости у, то гипотезу Н₀ принимают, в противном случае расхождение между Р" (у) и Р (у) считается неслучайным_/и гипотеза #₀ отвергается.

Критерий Колмогорова для обработки результатов моделирования целесообразно применять в тех случаях, когда известны все параметры теоретической функции распределения. Недостаток использования этого критерия связан с необходимостью фиксации в памяти ЭВМ для определения I) всех статистических частот с целью их упорядочения в порядке возрастания.

Критерий согласия Пирсона.

Основан на определении в качестве меры расхождения и величины.

где — количество значений случайной величины гу, попавших в 1-й подинтервал; Р (— вероятность попадания случайной величины у] в /-й подинтервал, вычисленная из теоретического распределения; (1 — количество подинтервалов, на которые разбивается интервал измерения в машинном эксперименте.

При ЛГ-юо закон распределения величины и, являющейся мерой расхождения, зависят только от числа подинтервалов и приближается к закону распределения х¹ (хи-квадрат) с (</—г— 1) степенями свободы, где г — число параметров теоретического закона распределения.

Из теоремы Пирсона следует, что, какова бы ни была функция распределения /^г(у) случайной величины ту, при ЛГ-гоо распределение величины х² имеет вид где Г (к/2) — гамма-функция; г—значение случайной величины х² к**(1—г— 1 — число степеней свободы. Функции распределения /*(г) табулированы.

По вычисленному значению и = х* и числу степеней свободы к с помощью таблиц находится вероятность Р{х²^х²}. Если эта вероятность превышает некоторый уровень значимости у, то считается, что гипотеза Н₀ о виде распределения не опровергается результатами машинного эксперимента.

Критерий согласия Смирнова. При оценке адекватности машинной модели М_м реальной системе 5 возникает необходимость проверки гипотезы Я₀, заключающейся в том, что две выборки принадлежат той же генеральной совокупности. Если выборки независимы и законы распределения совокупностей Р (и) в Р (г), из которых извлечены выборки, являются непрерывными функциями своих аргументов V и то для проверки гипотезы Н₀ можно использовать критерий согласия Смирнова, применение которого сводится к следующему. По имеющимся результатам вычисляют эмпирические функции распределения /^(и) и /*,(г) и определяют.

Затем при заданном уровне значимости у находят допустимое отклонение.

где ЛГ, и Я₂— объемы сравниваемых выборок для /^(и) и и проводят сравнение значений /> и ГК: если 0>В_У, то нулевую гипотезу Я₀ о тождественности законов распределения г (и) и Б (г) с доверительной вероятностью /?=1-у отвергают.

Критерий согласия Студента.

Сравнение средних значений двух независимых выборок, взятых из нормальных совокупностей с неизвестными, но равными дисперсиями Я М =*?[$], сводится к проверке нулевой гипотезы Н₀: Д = и —г=0 на основании критерия согласия Стьюдента (/-критерия). Проверка по этому критерию сводится к выполнению следующих действий. Вычисляют оценку.

где н N2 — объемы выборок для оценки и в 2 соответственно; 5? и а — оценки дисперсий соответствующих выборок.

Затем определяют число степеней свободы *" Я, + Я₂ — 2, выбирают уровень значимости у и по таблицам находят значение /_у. Расчетное значение / сравнивается с табличным /_у и если |/| < /_г, то гипотеза Н₀ не опровергается результатами машинного эксперимента.

Критерий согласия Фишера.

Задача сравнения дисперсий сводится к проверке нулевой гипотезы Я₀, заключающейся в принадлежности двух выборок к одной и той же генеральной совокупности. Пусть необходимо сравнить две дисперсии д и о, полученные при обработке результатов моделирования и имеющие к_х и к₂ степеней свободы соответственно, причем а>а. Для того чтобы опровергнуть нулевую гипотезу Я₀: необходимо при уровне значимости у указать значимость расхождения между а и а. При условии независимости выборок, взятых из нормальных совокупностей, в качестве критерия значимости используется распределение Фишера (^-критерий) которое зависит только от числа степеней свободы.

k_l**N_l — , Аг₂ = Я₂ — 1, где Я, и Я₂ — объемы выборок для оценки а и а соответственно.

Алгоритм применения критерия Фишера следующий: 1) вычисляется выборочное отношение Р=д_х1д 2) определяется чисто степеней свободы в к₂ «Я₂ — 1;

3) при выбранном уровне значимости у по таблицам^{-распределения} находятся значения границ критической области Р_х = 1/[Л-у/2(*1″ ^2)]• Ь₂);

4) проверяется неравенство Р_х <1<.Р₂; если это неравенство выполняется, то с доверительной вероятностью Р нулевая гипотеза Я₀: =<�т| может быть принята.

Хотя рассмотренные оценки искомых характеристик процесса функционирования системы 5*, полученные в результате машинного эксперимента с моделью М_м, являются простейшими, но охватывают большинство случаев, встречающихся в практике обработки результатов моделирования системы для целей ее исследования и проектирования.