Аналитическое решение для однородного цилиндра

Решение для однородного конечного цилиндра при отсутствии объемных сил и вынужденных деформаций было получено Л. Файлоном [36]. В данном подпараграфе приводится решение для более общего случая, полученное другим методом. Расчет однородного цилиндра позволяет провести анализ точности численного метода, разработанного для определения напряженно-деформированного состояния неоднородных цилиндров.

Полагая производные от механических характеристик равными нулю, из выражений (5.27) и (5.38) получим уравнения.

Решение уравнения (5.39) имеет вид.

где /"(г) — правая часть уравнения (5.39), а константы интегрирования Л и В определяются из граничных условий (5.33).

Уравнение (5.40) можно записать следующим образом:

d² 1 d 1 .

где L, = -гт ⁺ —;—-T> /" — правая часть уравнения (5.40).

йг г dr г Вводя обозначение (L₂ — k²)u_n = cp_n®, вместо уравнения (5.41) можно записать уравнение.

которое является неоднородным уравнением Бесселя. Решение данного уравнения имеет вид.

Здесь /, и К, — соответственно модифицированные функции Бесселя первого и второго рода первого порядка; Ф* — частное решение уравнения (5.42), определяемое по формуле.

где W= -I_tK₀ — I₀K_{ = т^ I₀, К₀ — указанные выше функции.

^kn^r

Бесселя нулевого порядка.

Определив <�р_я, можно найти решение уравнения (5.41). Оно представляется в виде.

где.

Константы C_Ui — C_An определяются из граничных условий (5.34). Некоторые результаты расчетов в сравнении с результатами для неоднородного цилиндра будут приведены ниже.